Çoxluqlar nəzəriyyəsi

Çoxluq nəzəriyyəsi – riyaziyyatın çoxluqların ümumi xassələrini öyrənən bölməsidir. Bir çox riyazi fənnlər, o cümlədən cəbr, analiz, ölçü nəzəriyyəsi, stoxastik və topologiya çoxluq nəzəriyyəsinə əsaslanırlar.Əsası alman riyaziyyatçısı Qeorq Kantor tərəfindən qoyulmuşdur.

Anlayışlar

Çoxluq nəzəriyyəsində elementar loqika $\in$ yeganə əsas nisbət hesab olunur. Qalan bütün çoxluq nəzəriyyəsinə aid anlayışlar və mülahizələr birinci dərəcəli məntiq əsasında müəyyən olunurlar.

Altçoxluq

A çoxluğu B-nin altçoxluğudur

Bir çoxluq $A$ digər çoxluğun $B$ o vaxt altçoxluğu adlanır ki, $A$ çoxluğuna aid olan istənilən element həm də $B$ çoxluğuna aid olsun.

$B$ o zaman $A$-nin üstçoxluğu adlanır. Formal olaraq:

${A}\subseteq {B} :\Longleftrightarrow \forall x \left( {x} \in A \rightarrow x \in B \right)$.

Bərabərlik

İki çoxluq o zaman bərabərdirlər ki, onlar eyni elementlərə malik olsunlar.

Bu analyış çoxluq nəzəriyyəsinin əsası hesab olunur. Formal olaraq belə ifadə olunur:

$A=B :\Longleftrightarrow \forall x \left(x \in A \,\leftrightarrow x \in B \right)$

Boş çoxluq

Tərkibində heç bir element olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır. O $\emptyset$ və ya $\{\}$ ilə işarə olunur. Bərabərlik qanunundan alınır ki, yalnız bir nir boş çoxluq mövcuddur. Digər boş çoxluqlar elə həmin elementləri əhatə edirlər, yəni bərabərdirlər. Uyğun olaraq: $\emptyset$ və $\{\emptyset\}$ müxtəlif olurlar. Çünki sonuncu çoxluq birincidən fərqli olan elementə sahibdir. Boş çoxluq bir çox çoxluqların alt çoxluğudur.

Kəsişmə çoxluğu

$A$ və $B$-nin kəsişmə çoxluğu

Bir qeyri-xətti $U$ çoxluğu verilir. Bu çoxluqdan yaranmış kəsişmə çoxluğu A və B çoxluqlarına aid olan elemntlərdən təşkil olunur. Daha dəqiq desək, A və B çoxluqlarının kəsişməsindən yaranan çoxluğun elementləri, bu hər iki çoxluğun altçoxluğudur. Formal olaraq:

$\bigcap U := \{x \mid \forall a\in U : x\in a\}$.

Birləşim çoxluğu

$A$ və  $B$ çoxluqlarından yaranmış birləşim çoxluğu