Çoxluqlar nəzəriyyəsi

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar

Çoxluq nəzəriyyəsi – riyaziyyatın çoxluqların ümumi xassələrini öyrənən bölməsidir. Bir çox riyazi fənnlər, o cümlədən cəbr, analiz, ölçü nəzəriyyəsi, stoxastik və topologiya çoxluq nəzəriyyəsinə əsaslanırlar.Əsası alman riyaziyyatçısı Qeorq Kantor tərəfindən qoyulmuşdur.


Anlayışlar[redaktə]

Hər hansı bir çoxluğu təşkil edən obyektlərə bu çoxluğun elemnti deyilir. Çoxluqlar böyük hərflərlə işarə olunur. elemntlər isə uyğun kiçik hərflərlə işarə olunur.

Çoxluq nəzəriyyəsində  a \in A münasibəti o deməkdir ki,  a  A çoxluğunun elementidir. Bunun inkarı isə  a \notin A kimi işarə edililirlər. Bu münasibət isə onu göstərir ki,  a  A çoxluğunun elementi deyil.

Dəqiq Alt Çoxluğu[redaktə]

A çoxluğu B-nin altçoxluğudur

Bir çoxluq A digər çoxluğun B o vaxt dəqiq altçoxluğu adlanır ki, A çoxluğuna aid olan ixtiyari element həm də B çoxluğunun elementi olsun.

B o zaman A-nin üstçoxluğu adlanır. Formal olaraq:

{A}\subseteq {B} :\Longleftrightarrow \forall x \left( {x} \in A \rightarrow x \in B \right).

Bərabərlik[redaktə]

İki çoxluq o zaman bərabərdirlər ki, onlar eyni elementlərə malik olsunlar.

Bu analyış çoxluq nəzəriyyəsinin əsası hesab olunur. Formal olaraq belə ifadə olunur:

A=B :\Longleftrightarrow \forall x \left(x \in A \,\leftrightarrow x \in B \right)

Boş çoxluq[redaktə]

Tərkibində heç bir element olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır. O \emptyset və ya \{\} ilə işarə olunur. Bərabərlik qanunundan alınır ki, yalnız bir nir boş çoxluq mövcuddur. Digər boş çoxluqlar elə həmin elementləri əhatə edirlər, yəni bərabərdirlər. Uyğun olaraq: \emptyset\{\emptyset\} müxtəlif olurlar. Çünki sonuncu çoxluq birincidən fərqli olan elementə sahibdir. Boş çoxluq hər bir çoxluğun alt çoxluğudur. Boş çoxluğu həmçinin aşağıdakı kimi də ifadə etmək olar:

 \emptyset_{A} = \{x \in A  \mid \forall x\notin A \}
 \emptyset_{A} - A çoxluğunun boş alt çoxluğudur. Aşkar

Çoxluqların kəsişməsi[redaktə]

AB-nin kəsişmə çoxluğu

Bir qeyri-xətti U çoxluğu verilir. Bu çoxluqdan yaranmış kəsişmə çoxluğu A və B çoxluqlarına aid olan elemntlərdən təşkil olunur. Daha dəqiq desək, A və B çoxluqlarının kəsişməsindən yaranan çoxluğun elementləri, bu hər iki çoxluğun altçoxluğudur. Formal olaraq:

\bigcap U := \{x \mid \forall a\in U : x\in a\}.

Çoxluqların birləşməsi[redaktə]

\bigcap U := \{x \mid \forall x \notin A \}.
A və  B çoxluqlarından yaranmış birləşim çoxluğu