İbtidai funksiya

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar

İbtidai funksiya (və ya qeyri müəyyən inteqral; törəmənin əksi) verilmiş aralığın bütün nöqtələrində F(x)=f'(x) bərabərliyini ödəyən funksiya. F(x) funksiyasına həmin aralıqda f(x) funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.


Nümunə: Göstərək ki, F(x)=3x^4 funksiyası (-\infty;+\infty) aralığında f(x)=12x^3 funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

F'(x)=(3x^4)'=3(x^4)'=3\cdot4x^3=12x^3=f(x)

Doğrudan da aralığının istənilən nöqtəsində bərabərliyi ödənilir. Tutaq ki funksiyası verilmiş aralıqda kəsilməz funksiyasının ibtidai funksiyasıdır. Onda ixtiyarı sabitı üçün funksiyası da həmin aralıqda funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

Əsas xassələri[redaktə]

Qeyri müəyyən inteqralın (ibtidai funksiya) aşağıdakı xassələri var.
1: Qeyri müəyyən inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiya diferensialı isə inteqralaltı ifadəyə bərabərdir:

(\int f(x)dx)'=f(x)
d(\int f(x)dx)=f(x)dx
İsbatı: Tutaq ki, F(x) funksiya ibtidai f(x)-sin funksiyasıdır: F(x)=f(x). Onda \int f(x)dx=F(x)+C yaza bilərik. Bu bərabərliyin hər iki tərəfindən törəmə alsaq,
\int f(x)dx=(F(x)+C)'=F'(x)+C',

yəni

\int f(x)dx=f(x).

2.Kəsilməz törəməsi olan F(x) funksiyasını törəməsinin qeyri-müəyyən inteqralı onun özündən sabit toplananla fərqlənir, yəni

\int F'(x)dx=F(x)+C

və ya

\int dF'(x)dx=F(x)+C.

Burada F(x)-kəsilməz diferensiallanan funksiyadır. Bu xassə, bilavasitə qeyri-müəyyən inteqralın tərifindən alınır.
3.Sıfırdan fərqli sabit vuruğu inteqral işarəsi xaricinə çıxarmaq olar.

\int kf(x)dx=k\int f(x)dx (k\ne 0)

Doğrudan da, F'(x)=f(x) isə, sıfırdan fərqli k sabiti üçün (kF(x))'=kF'(x)=kf(x) olduğundan, \int kf(x)dx=kF(x)+C=k\int f(x)dx alırıq:
(x^{\alpha+1})'=(\alpha+1)x^\alpha olduğundan 2-ci və 3-cü xassələri tətbiq etməklə belə nəticəyə gəlirik ki istənilən \alpha \ne 1 üçün

\int x^\alpha dx=\frac{1}{\alpha+1}\int (\alpha+1)x^\alpha dx=\frac{1}{\alpha+1}\int(x^{\alpha+1})'dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.

4. Cəmin qeyri-müəyyən inteqralı toplananların qeyri -müəyyən ınteqralları cəminə bərabərdir:

\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.

Mənbə[redaktə]

  • Cəbr və analizin başlanğıcı - Ümumtəhsil məktəblərinin XI sinfi üçün dərslik; M.C.Mərdanov, M.H.Yaqubov, S.S.Mirzəyev, A.B.İbrahimov, İ.H.Hüseynov, M.A.Kərimov, Ə.F.Quliyev; Çaşıoğlu nəş. 2007.