Əyrinin uzunluğu (riyaziyyat)

Uzunluq riyaziyyatda parça, yol və əyrilərin xassələrini səciyyələndirir. Əyrinin uzunluğu həmçinin "qövs uzunluğu" da adlanır.

Parçanın uzunluğu

Əgər, uyğun olaraq $(a_1,a_2,a_3)$ , $(b_1,b_2,b_3)$ koordinatlarına malik $A$ və $B$ nöqtələri verilmiş $\R^3$ fəzaya aiddrsə, onda bu koordinatlar arasındakı $AB$ parçasının uzunluğu Pifaqor teoreminə görə hesablanır:

$\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}.$

Müstəvidə yolun uzunluğu

Müstəvi üzərində və ya fəzada yol iki və ya üç koordinat funksiyası ilə verilir:

$t\mapsto(x(t),y(t))$ uyğun olaraq $t\mapsto(x(t),y(t),z(t))$, $a\leq t\leq b$ şərti daxilində.

Hissə-hissə kəsilməyən yolun uzunluğu onun vektorunun inteqrallanması ilə əldə edilir:

$L = \int_a^b\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2}\,\mathrm dt$ uyğun olaraq $\int_a^b\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}\,\mathrm dt.$

Polyar koordinat sistemində yolun uzunluğu

Müstəvidə verilmiş yol polyar koordinat sistemnində $r(\varphi)$ şəklind təyin olunmuşsa, onda

$\varphi_0\leq \varphi\leq \varphi_1$ üçün $\varphi\mapsto(r(\varphi)\cos\varphi,r(\varphi)\sin\varphi)$

hasil qaydasından alınır

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\varphi}=r^\prime(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi$ və

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\varphi}=r^\prime(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi$, bununla

$\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2 = \left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)$.

Buradan polyar koordinat siistemondə yolun uzunluğu belə tapılır:

$L=\int_{\varphi_0}^{\varphi_1}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi$.

Həmçinin bax

Uzunluq (Fizika)

Uzunluq (Cəbr)