Əyrinin uzunluğu (riyaziyyat)

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar

Uzunluq riyaziyyatda parça, yoləyrilərin xassələrini səciyyələndirir. Əyrinin uzunluğu həmçinin "qövs uzunluğu" da adlanır.


Parçanın uzunluğu[redaktə]

Əgər, uyğun olaraq (a_1,a_2,a_3) , (b_1,b_2,b_3) koordinatlarına malik AB nöqtələri verilmiş \R^3 fəzaya aiddrsə, onda bu koordinatlar arasındakı AB parçasının uzunluğu Pifaqor teoreminə görə hesablanır:

\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}.


Müstəvidə yolun uzunluğu[redaktə]

Müstəvi üzərində və ya fəzada yol iki və ya üç koordinat funksiyası ilə verilir:

t\mapsto(x(t),y(t)) uyğun olaraq t\mapsto(x(t),y(t),z(t)), a\leq t\leq b şərti daxilində.

Hissə-hissə kəsilməyən yolun uzunluğu onun vektorunun inteqrallanması ilə əldə edilir:

L = \int_a^b\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2}\,\mathrm dt uyğun olaraq \int_a^b\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}\,\mathrm dt.


Polyar koordinat sistemində yolun uzunluğu[redaktə]

Müstəvidə verilmiş yol polyar koordinat sistemnində r(\varphi) şəklind təyin olunmuşsa, onda

\varphi_0\leq \varphi\leq \varphi_1 üçün \varphi\mapsto(r(\varphi)\cos\varphi,r(\varphi)\sin\varphi)

hasil qaydasından alınır

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\varphi}=r^\prime(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\varphi}=r^\prime(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi, bununla
\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2 = \left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi).

Buradan polyar koordinat siistemondə yolun uzunluğu belə tapılır:

L=\int_{\varphi_0}^{\varphi_1}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi.


Həmçinin bax[redaktə]

Uzunluq (Fizika)

Uzunluq (Cəbr)