Matris

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar

Matris (və ya Matriks)Xətti cəbr anlayışı olub, n sayda sıra və m sayda sütundan ibarət olan rəqəmlər cədvəlidir. Matrisi Sıra VektorlarıSütun Vektorları yaradır. Matris cədvəlinin hər bir elementinə Matris Komponenti deyilir.

„Matris" bir riyazi anlayış kimi ilk dəfə 1850-ci ildə Ceyms Cosef Silvester tərəfindən formalaşdırılmışdır. Matrislərin quruluşu onları xətti bərabərliklər kimi ifadə etməyə kömək edir.


  \begin{pmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} 
  \end{pmatrix} 
və ya 
  \begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} 
  \end{bmatrix}

Matrislərin xassələri və onlar üzərində riyazi əməllər[redaktə]


m × n ölçülü A matrisi ( ai,j, bütün 1 ≤ im və 1 ≤ jn) adətən A[i,j] kimi qeyd olunur ki, bu da öz növbəsində A:=(a_{i,j})_{m \times n} deməkdir.

Nümunə:

A matrisi:

A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4&9&2 \\
6&0&5\end{bmatrix}

4×3 ölçülü matrisdir. A[2,3]/(a2,3)elementi 7-yə bərabərdir.


R matrisi

 R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

1×9 ölçülü matris və ya 9 elementli sıra vektorudur.


Kvadrat Matris[redaktə]

Sıralarının sayı, sütunlarının sayına bərabər (m × m) olan matrisə kvadrat matris deyilir.

Nümunə: Əgər m = 3 olarsa, onda


  A_3 =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 5 \\
    0 & 9 & 6 \\
    5 & 0 & 1
  \end{bmatrix}


Matrislərin skalyar hasili[redaktə]

A matrisi verilmişdir və a c bir ədəddir, cA skalyar hasili c ədədinin A matrisinin hər bir elementi ilə hasilinə bərabərdir.

Nümunə:

2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}


Matrislərin toplanılması[redaktə]

m × nölçülü AB matrisləri verilmişdir, onların cəmi olan A + B matrisinin hər bir uyğun elementi, A matrisinin uyğun elementi ilə B matrisin uyğun elementininin cəminə bərabərdir:

(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] )

Nümunə:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}


Matrislərin vurulması[redaktə]

Fərz edək ki,m × n ölçülü A və B matrisləri verilmişdir, onalrın hasilini bu cür ifadə etmək olar:


\,\!
    (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[n,j]


Nümunə:


    \begin{bmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
       -1 & 3 & 1 \\
    \end{bmatrix}
\times
    \begin{bmatrix}
        3 & 1 \\
        2 & 1 \\
        1 & 0 \\
    \end{bmatrix}
=
    \begin{bmatrix}

        ( 1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1)
      & ( 1 \times 1  +  0 \times 1  +  2 \times 0) \\

        (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1)
      & (-1 \times 1  +  3 \times 1  +  1 \times 0) \\

    \end{bmatrix}

=
    \begin{bmatrix}
        5 & 1 \\
        4 & 2 \\
    \end{bmatrix}

Matrislərin hasili bu cür xassələrə malikdir:

  • (AB)C = A(BC)
  • (A + B)C = AC + BC
  • C(A + B) = CA + CB

Qeyd:Matrislər üçün kommutativlik xassəsi yaramır,ABBA.

Diaqonal anlayışı və vahid matris[redaktə]


Matris diaqonalı, matrisin birinci sağ(sol) sətr və sütun elementi ilə sonuncu sol(sağ) sətr və sütün elementini birləşdirən(uyğun olaraq sağ və sol diaqonal) ədədlər sırasına deyilir.

Məsələn, burada:


  I_3 =
  \begin{bmatrix}
    1 & 5 & 3 \\
    4 & 0 & 2 \\
    5 & 9 & 7
  \end{bmatrix}

sağ(baş) diaqonal elementləri 1,0,7 və sol diaqonal elementləri 3,0,5 dir.

Vahid matris o matrisə deyilir ki, sağ(baş)diaqonalı elementləri 1, digər elemetlər 0 olsun. Kvadrat matris prinsipi zəruridir.


  I_3 =
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}

Determinant[redaktə]

İkili kvadrat matrisin determinantı aşağıda göstərildiyi kimi ifadə olunur.

\det \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad-bc.

Bu ifadəyə iki tərtibli determinant deyilir. Uyğun olaraq üç tərtibli matrisin determinantı aşağıdakı kimi yazılır.

\det \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.

Determinantı sıfra bərabər olan matrisə çırlaşmış (və ya məxsusi) matris, determinantı sıfırdan fərqli olan matrisə isə çırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir.

Tərs matris[redaktə]

Fərz edək ki, A hər hansı tərtibli matris, J isə həmin tərtibdən olan vahid matrisdir. Əgər A ilə eyni tərtibdən olan elə B matrisi varsa ki,

AB = BA = J

bərabərliyi ödənilərsə, onda B matrisinə A-nın tərsi deyilir və B = A-1 kimi yazılır. Teoremə görə hər hansı A matrisinin tərsi varsa, o yeganədir. A matrisinin tərs matrisinin olması üçün zəruri və kafi şərt onun determinantının sıfırdan fərqli olmasıdır.

Həmçinin bax[redaktə]

Mənbə[redaktə]