Parabola

Parabola, onun fokus məsafəsi və direktrisası

Kəsik konus:
Eksentrisitet:	$~\textstyle e=1$
Bərabərlik:	$~\textstyle y^2=2px$
Hiperbola · Parabola · Ellips · Çevrə

Parabola (yunanca:παραβολή - tətbiq) - kvadratik funksiyanın (y = x²) qrafikinə verilən addır.Hiperbolanın tərsidir.

Mündəricat

1 Bərabərlik
- 1.1 Kvadrat tənliyinin əmsallarının hesablanması
2 Konus bölməsi
3 Digər bərabərliklər
4 Polyar koordinatda parabola
5 Fəzada Parabola
6 Həmçinin bax
7 Xarici keçidlər

Bərabərlik [redaktə]

Düzxətli koordinat sistemi üzərində Parabolanın kanonik şəkli aşağıdakı kimidir:

$~\textstyle y^2=2px, p>0$ (или $~\textstyle x^2=2py$ , əgər uc nöqtələrinin yernini dəyişdirsək).

Nəticə

Direktrisanın bərabərliyi: $~PQ$ : $~\textstyle x+\frac{p}{2}=0$ , fokus — $~\textstyle F\left (\frac{p}{2};0\right )$ , buna əsasən koordinat başlanğıcı: $~O$ — mərkəzin kəsiyi $~CF$ . Parabolanın $~M$ üçün tapılmış müxtəlif nöqtəsində, üzərində yerləşən bərabərlik alınır: $~KM=FM$ . $~\textstyle KM=KD+DM=\frac{p}{2}+x$ və $~\textstyle FM=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$ , onda bərabərlik aşğıdakı görünüşünü alır:

$~\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}=\frac{p}{2}+x$ .

Bərabərliyi müxtəlif cür hesabladıqdan sonra eynigüclü bərabərlik alınır: $~y^2=2px$ .

Kvadrat tənlik: $~y=ax^2+bx+c$ при $~a\neq 0$ həmçinin, parabolanın и qrafikini əks etdirir, bu düstur kimi: $~y=ax^2$ , ancaq birinci bərabərlik ikinci bərabərlikdən ona görə fərqlənir ki, birinci bərabərliyin başlanğıcı koordinat başlanğıcı üzərində deyildir. $~A$ -nın müxtəlif nöqtələri üçün koordinat aşağıdakı düsturla hesablanır:

$~x_A=-\frac{b}{2a},\;y_A=-\frac{D}{4a},$ haradakı: $D=b^2-4ac$ — Diskriminant.

Həmçinin: $~y=ax^2+bx+c$ kvadratik tənliyi $~y=a(x-x_A)^2+y_A$ bu şəkildə də göstərilə bilər. Əgər $~A$ nöqtəsi koordinat siteminin başlanğıcı üzərində olarsa kanonik şəkildə göstərilə bilər. Bu zaman: math>p=\frac{|a|}{2}</math> ifadəsi meydana çıxır.

Kvadrat tənliyinin əmsallarının hesablanması [redaktə]

Əgər $~y = ax^2 + bx + c$ tənliyi üçün tapılmış üç nöqtə üçün $~(x_{1}; y_{1})$ , $~(x_{2}; y_{2})$ , $~(x_{3}; y_{3})$ ifadələr alınarsa, onda kvadrat tənliyinin əmsallarını aşağıdakı kimi hesablamaq olar:

$~a=\frac{y_{3}-\frac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}$

Konus bölməsi [redaktə]

Parabola konus ailəsinin bir hissəsinə aiddirlər:

Parabolanın konus şəkli

Digər bərabərliklər [redaktə]

Şaquli simmetriyanın ucları [redaktə]

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \,$

$y =\frac{(x-h)^2}{4p}+k\,$

$y = ax^2 + bx + c \,$

haradakı:

$a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k; \ \$

$h = \frac{-b}{2a}; \ \ k = \frac{4ac - b^2}{4a}$ .

Parametrik forması:

$x(t) = 2pt + h; \ \ y(t) = pt^2 + k \,$

Üfiqi simmetriyanın ucları [redaktə]

$(y - k)^2 = 4p(x - h) \,$

$x =\frac{(y - k)^2}{4p} + h;\ \,$

$x = ay^2 + by + c \,$

haradakı:

$a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-k}{2p}; \ \ c = \frac{k^2}{4p} + h; \ \$

$h = \frac{4ac - b^2}{4a}; \ \ k = \frac{-b}{2a}$ .

Parametrik forması:

$x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k \,$

Baş parabola [redaktə]

The general form for a parabola is

$(\alpha x+\beta y)^2 + \gamma x + \delta y + \epsilon = 0 \,$

$Ax^2 +Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \,$

və aşağıdakı kimi ifadə üçün doğrudur,

$B^2=4AC \,$ .

Baş parabola üçün fokus tənliyi: F(u, v), and a directrix in the form

$ax+by+c=0 \,$

is

$\frac{\left(ax+by+c\right)^2}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\left(x-u\right)^2+\left(y-v\right)^2 \,$

Qauss xəritəsinin forması [redaktə]

Qauss xəritəsinin forması aşağıdakı kimidir: $(\tan^2\phi,2\tan\phi)$ tənliyin ifadəsi aşağıdakı ifadə kimi eynigüclüdür: $(\cos\phi,\sin\phi)$ .

Polyar koordinatda parabola [redaktə]

Polyar koordinatda olan parabola üçün aşağıdakı bərabərliklər vardır:

$r(\varphi) = 4a \frac{\cos(\varphi)}{\sin^2(\varphi)} \quad \ \varphi \in \left[ -\tfrac{\pi}{2} , \tfrac{\pi}{2} \right] \setminus\{0\} .$

$(a,0)$ .

$r(\varphi) = \frac{2a}{1-\cos(\varphi)}\quad\ \varphi \ne 2\pi k .$

Fəzada Parabola [redaktə]

Bir sıra kosmik cisimlərin trayektoriyası (kometlər, asteroidlər və s.) böyük sürətlə parabolaya oxşayırlar. Parabolanın formasından bir sıra arxitekturada istifadə edilir.