Roll teoremi

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar

Roll teoremi - [a, b] parçasında kəsilməyən, (a, b) intervalında differensiallanan və həmin parçanın uc nöqtələrində bərabər f(a)=f(b) qiymətləri alan y=f(x) funksiyası üçün həmin (a, b) intervalında yerləşən heç olmasa bir elə \gamma nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın f'(x) törəməsi sıfra bərabər olduğunu bildirən diferensial hesabın əsas teoremi.

İsbatı[redaktə]

Funksiya [a, b] parçasında sabit olduqda teoremin doğruluğu aydındır. Bu halda f(x)-in törəməsi (a, b) intervalının bütün nöqtələrində sıfra bərabərdir və \gamma nöqtəsi olaraq istənilən nöqtəni götürmək olar. İndi fərz edək ki, f(x) funksiyası sabit deyil. O, [a, b] parçasında kəsilməyən olduğundan Veyerştrassın ikinci teoreminə görə özünün dəqiq aşağı (m0) və (M0) dəqiq yuxarı sərhədinin hər birini həmin parçanın heç olmasa bir nöqtəsində alır.

Sabit olmayan f(x) funksiyası üçün m0<M0) olar və f(a)=f(b) şərtinə görə funksiya m0 və (M0 sərhədlərinin heç olmasa birini parçasının daxili nöqtəsində alaq.

Tutaq ki, f(x) funksiyası dəqiq aşağı sərhəddini daxili \gamma nöqtəsində alır: f(\gamma)=m_0, (a<\gamma<0). Onda kifayət qədər kiçik olan ixtiyarı |\Delta x| üçün

f(\gamma+\Delta)\geq f(\gamma),

buradan

\frac{f(\gamma+\Delta x)-f(\gamma)}{\Delta x}\leq 0
\Delta x<0 olduqda (1)
\frac{f(\gamma+\Delta x)+f(\gamma)}{\Delta x}\geq 0
 \Delta x > 0 olduqda. (2)

x \Rightarrow 0 şərtində (1) və (2) bərabərsizliklərində limitə keçsək

\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(\gamma+\Delta x)-f(\gamma)}{\Delta x}=f'(\gamma)\leq
\Delta x<0 olduqda
\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(\gamma+\Delta x)-f(\gamma)}{\Delta x}=f'(\gamma)\geq
\Delta x>0 olduqda.

f'(\gamma)\leq 0f'(\gamma)\geq 0 münasibətlərinə f'(\gamma)=0 olur.

f(x) funksiyası dəqiq yuxarı sərhəddini parçanın daxili nöqtəsində aldıqda törəmənin sıfra bərabər \gamma olduğu nöqtəsinin varlığı sayda ilə isbat olunur.

Mənbə[redaktə]

  • Ali Riyaziyyat kursu I dərslik
    Roll teoremi səh. 363; f.r.e.d. professor Rafiq Məmmədov; Maarif nəşriyyatı 1978