Triqonometriyanın əsas düsturları

Triqonometriyada triqonometrik eyniliklər triqonometrik funksiyaların daxil olduğu bərabərliklərdir. Həndəsi olaraq isə bu eyniliklər bir və ya bir neçə bucağın müəyyən funksiyalarını ehtiva edən eyniliklərdir.

Pifaqorun triqonometrik eynilikləri

Sinus və kosinus arasındakı əsas əlaqə Pifaqorun triqonometrik eyniliyi ilə verilir:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$

burada $\sin ^{2}\theta$ – $(\sin \theta )^{2}$, $\cos ^{2}\theta$ –$(\cos \theta )^{2}$ deməkdir.

Bu bərabərlikdən sinus və kosinusu tapmaq mümkündür:

${\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}$

Bərabərliyin tərəflərini ayrı-ayrılıqda sinusa və kosinusa və ya hər ikisinə böldükdə aşağıdakı eyniliklər alınır:

${\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}$

Bu eyniliklərdən istifadə edərək hər hansı bir triqonometrik funksiyanı digəri ilə ifadə etmək mümkündür:

Triqonometrik funksiyalardan hər birinin digər beşi ilə ifadəsi

	$\sin \theta$	$\csc \theta$	$\cos \theta$	$\sec \theta$	$\tan \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\csc \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	$\cos \theta$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\sec \theta$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	$\tan \theta$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot \theta$

Çevrilmələr, yerdəyişmələr və dövrilik

Dəyişmələr və dövrilik

Dörddə bir dövrdə dəyişmə	Yarım dövrdə dəyişmə	Tam dövrdə dəyişmə	Funksiyanın dövrü
$\sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta$	$2\pi$
$\cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta$	$2\pi$
$\csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta$	$2\pi$
$\sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta$	$2\pi$
$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta$	$\pi$
$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}$	$\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta$	$\pi$

İşarələr

Triqonometrik funksiyaların işarəsi bucağın rübündən asılıdır. Əgər ${-\pi }<\theta \leq \pi$ və sgn işarə funksiyasını ifadə edərsə,

${\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Bucaqların cəmi və fərqi üçün eyniliklər

${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

$\sin(\alpha -\beta )$ və $\cos(\alpha -\beta )$ bucaq fərqlərini "$\beta$" -nı "$-\beta$ " ilə əvəz etməklə və $\sin(-\beta )=-\sin(\beta )$ və $\cos(-\beta )=\cos(\beta )$ faktına əsaslanaraq da tapmaq olar.

Bu eyniliklər digər triqonometrik funksiyalar üçün cəm və fərq eyniliklərini ehtiva edən aşağıdakı cədvəldə ümumiləşdirilmişdir:

Sinus	$\sin(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
Kosinus	$\cos(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
Tanqens	$\tan(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
Kosekans	$\csc(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}$
Sekans	$\sec(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$
Kontanqens	$\cot(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$
Ark-sinus	$\arcsin x\pm \arcsin y$			$=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
Ark-kosinus	$\arccos x\pm \arccos y$			$=$	$\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)$
Ark-tanqens	$\arctan x\pm \arctan y$			$=$	$\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)$
Ark-kotanqens	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y$			$=$	$\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$

Əsas triqonometrik düsturlar

Düstur	Arqumentin mənası
$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$	$\forall \alpha$
$\operatorname {tan} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z}$
$\operatorname {cot} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq \pi n,n\in \mathbb {Z}$
$~\operatorname {tan} \alpha \cdot \operatorname {cot} \alpha =1$	$\alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},n\in \mathbb {Z}$
$~\operatorname {tan} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

Toplama düsturları

Toplama düsturları
$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
$\operatorname {tan} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tan} \alpha \pm \operatorname {tan} \beta }{1\mp \operatorname {tan} \alpha \operatorname {tan} \beta }}$
$\operatorname {cot} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {cot} \alpha \operatorname {cot} \beta \mp 1}{\operatorname {cot} \beta \pm \operatorname {cot} \alpha }}$

İkiqat arqument düsturları

İkiqat arqument düsturları
$\sin 2\alpha =2{\sin \alpha }{\cos \alpha }$
$\cos 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }$ $\cos 2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }$
$\operatorname {tan} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tan} \alpha }{1-\operatorname {tan} ^{2}\alpha }}$
$\operatorname {cot} 2\alpha ={\frac {\operatorname {cot} ^{2}\alpha -1}{2\operatorname {cot} \alpha }}$

Üçqat arqument düsturları

Üçqat arqument düsturları
$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha \,$
$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$
$\operatorname {tan} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tan} \alpha -\operatorname {tan} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tan} ^{2}\alpha }}$
$\operatorname {cot} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {cot} \alpha -\operatorname {cot} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {cot} ^{2}\alpha }}$

Dərəcənin aşağı salma düsturları

Sinus	Kosinus
$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$	$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$
$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}$	$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}$
$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$	$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$
$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}$	$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}$

Düstur
$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}$
$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}$
$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}$
$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}$

Hasilin cəmə çevrilməsi düsturla

Hasilin cəmə çevrilməsi düsturları
$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$
$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}$