Cəbrin əsas teoremi

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Jump to navigation Jump to search

Teorem. Hər bir kompleks əmsallı çoxhədlinin heç olmazsa bir kompleks kökü vardır.

Bu teorem cəbrin əsas teoremi adlanır və o göstərir ki, kompleks ədədlər meydanı cəbri qapalı meydandır.

Cəbrin əsas teoreminin isbatı. Tutaq ki, kompleks əmsallı

çoxhədlisi verilmişdir. Onda lemma 2-yə əsasən, elə həqiqi əmsallı

çoxhədlisi vardır ki, verilən şoxhədlinin bütün kökləri çoxhədlisinin kökləri içərisindədir. Beləliklə, cəbrin əsas teoremini həqiqi əmsallı çoxhədlilər üçün isbat etmək kifayətdir.

Beləliklə, həqiqi əmsallı ixtiyari çoxhədlisi götürək. Göstərək ki, onun heç olmazsa bir kompleks kökü vardır. İki hal mümkündür: 1) çoxhədlinin dərəcəsi tək ədəddir; 2) çoxhədlinin dərəcəsi cüt ədəddir. Birinci halda çoxhədlinin həqiqi kökü vardır. Buna görə də yalnız ikinci hala baxmaqla kifayətlənmək olar.

Fərz edək ki, olmaqla tək ədəddir. ədədinə görə induksiya metodunu tətbiq edək. Əgər olarsa, yuxarıda baxılan hal alınır və teorem doğrudur. Fərz edək ki, teorenmin doğruluğu üçün isbat olunmuşdur. Teoremin hökmünün doğruluğunu bu şərt daxilində isbat edək.

Əvvəlki paraqrafdan məlum olduğu kimi, verilən çoxhədlinin həqiqi ədədlər meydanının müəyyən sonlu genişlənməsində kökü vardır.

Qeyd edək ki, məlum Frobenius teoreminə əsasən belə genişlənmə ancaq kompleks ədədlər meydanı ola bilər. Lakin Frobenius teoreminin isbatı cəbrin əsas teoreminə əsaslandığı üçün ondan istifadə etmək olmaz. Beləliklə görürük ki, Frobenius teoremi cəbrin əsas teoremi ilə eynigüclüdür.

Beləliklə, həqiqi ədədlər meydanının elə genişlənməsi vardır ki, burada verilən çoxhədlinin sayda kökü vardır: . Aşağıdаkı kimi iki ədədlər sisteminə baxaq:

Hər iki sistemin eyni sayda, yəni sayda elementləri vardır. İki çoxhədli quraq:

Bu çoxhədlilərin dərəcələri eynidir və hasilinə bərabərdir. hasili tək ədəddir.

Bu çoxhədlilərdən birincisinə baxaq. Onun əmsalları elementlərinin elementar simmetrik funksiyalarıdır. Buna görə də bu əmsallar ədədlərinə görə simmetrik çoxhədlilərdir (doğrudan da, onlrın ixtiyari yerdəyişməi nəticəsində yalnız çoxhədlilərin ifadəsindəki hədlər öz yerini dəyişir.). Deməli, onlar əsas meydan daxildir, yəni həqiqi ədədlərdir. Buna görə də həqiqi əmsallı çoxhədlidir və onun dərəcəsində 2-nin qüvvət üstü - dan kiçikdir. İnduktiv fərziyyəyə əsasən onun kökləri olan ədədləri kompleks ədədlərdir. Eyni qayda ilə əmin olmaq olar ki, ədədləri də kompleks ədədlərdir. Viyet teoreminə əsasən, hər bir indekslər cütü üçün ədədləri kompleks əmsallı

tənliyinin kökləridir, yəni kompleks ədədlərdir. Bununla, cəbrin əsas teoreminin isbatı başa çatdı.


Mənbə: http://www.kitabyurdu.org/kitab/riyaziyyat/875-cebr-i-ii-iii-hisse.html