Darbu çevirməsi

Riyaziyyatda Darbu çevirməsi verilmiş tənlik və onun həlli vasitəsilə yeni bir tənlik və onun həllinin alınması üsuludur və Fransa riyaziyyatçısı Jan Qaston Darbunun şərəfinə belə adlandırılmışdır. Bu üsul tərs səpilmə nəzəriyyəsində, ortoqonal çoxhədlilər nəzəriyyəsində və Korteveq-de Fris tənliyinin soliton həllərinin qurulmasında geniş istifadə olunur. Operatorlar nəzəriyyəsi baxımından bu çevirmənin mahiyyəti verilmiş ikitərtibli diferensial operatorun birtərtibli operatorların hasilinə ayrılıb onların yerinin dəyişdirilməsindən ibarətdir və buna görə də ona riyazi ədəbiyyatda bəzən birqat kommutasiya üsulu da deyilir. Darbu çevirməsi fiziklər tərəfindən yaradılış və məhv operatorları, pillə operatorları şəklində yenidən tapılmışdır və supersimmetrik kvant mexanikasında fundamental əhəmiyyətə malikdir.

Tarixi

Bu üsulun əsas ideyası əslində Darbudan da bir qədər əvvəl Karl Qustav Yakob Yakobi tərəfindən verilmişdir.

Üsul

Tutaq ki, $y=y(x)$ funksiyası

$-y''(x)+q(x)y(x)=\lambda y(x)$

tənliyinin bir həllidir və $y=z(x)$ isə həmin tənliyin müəyyən $\lambda =\lambda _{0}$ qiymətində qeyd olunmuş ciddi müsbət həllidir. Onda

$Y(x):=y'(x)-{\frac {z'(x)}{z(x)}}y(x)=z(x)\left({\frac {y(x)}{z(x)}}\right)'$

funksiyası

$-Y''(x)+Q(x)Y(x)=\lambda Y(x)$

tənliyinin həllidir, burada $Q(x)=q(x)-2\left({\frac {z'(x)}{z(x)}}\right)'.$

Sərhəd məsələləri

Darbu çevirməsi yalnız diferensial tənliyi deyil, həm də sərhəd şərtlərini dəyişir. Onun vasitəsilə spektral parametrdən asılı olan sərhəd şərtlərini spektral parametrdən asılı olmayan sərhəd şərtlərinə — Dirixle, Neyman və ya Roben sərhəd şərtlərindən birinə gətirmək olar. Digər tərəfdən isə həmin çevirmə vasitəsilə tərs kvadratik sinqulyarlığı Dirixle sərhəd şərtinə və əksinə çevirmək olur. Beləliklə, Darbu çevirməsi spektral parametrdən asılı olan sərhəd şərtləri ilə tərs kvadratik sinqulyarlıq arasında əlaqə yaratmağa imkan verir.