Ekvivalentlik münasibəti

Vikipediya, azad ensiklopediya
Jump to navigation Jump to search

Binar münasibətlərin bəzi növlərinin riyaziyyatın bir çox sahələrində mühüm tətbiqləri vardır.

Tərif 1. Tutaq ki, boş olmayan çoxluğunda binar münasibəti verilmişdir. Bu müna- sibət o zaman:

a) refleksiv münasibət adlanır ki, ;

b) antirefleksiv münasibət adlanır ki, ;

c) simmetrik münasibət adlanır ki, ;

ç) antisimmetrik münasibət adlanır ki, ;

d) tranzitiv münasibət adlanır ki, ;

e) rabitəli münasibət adlanır ki, şərtləri ödənilsin.

Misallar.

a) münasibəti refleksiv münasibətdir. Asanlıqla yəqin etmək olar ki, münasibətini daxilinə alan hər bir münasibət refleksiv münasibətdir. Xüsusi halda, olarsa, münasibəti refleksiv münasibətdir.

b) İxtiyari münasbiəti verilərsə, münasibəti antirefleksiv münasibətdir. Xüsusi halda olarsa, münasibəti refleksiv münasibətdir.

c) həqiqi ədədlər çoxluğunda münasibəti simmetrik münasibətdir. Doğrudan da, ədədləri göstərilən bərabərliyi ödəyərsə, onda onların yerini dəyişdikdə bərabərlik pozulmur.

ç) natural ədədlər çoxluğunda bölünmə münasibəti antisimmetrik münasibətdir. Doğrudan da, əgər olarsa, elə natural ədədi tapmaq olar ki, . Eyni qayda ilə elə natural ədədi var ki, . Birinci bərabərlikdə ikincini nəzərə alsaq, yaza bilərik: .

d) həqiqi ədədlər çoxluğunda tranzitiv münasibətdir. Yəni olarsa, onda .

e) həqiqi ədədlər çoxluğunda rabitəli münasibətdir, yəni olarsa, onda ya və ya .

Tərif 2. Boş olmayan çoxluğunda verilmiş münasibəti o zaman ekvivalentlik münasibəti adlanır ki, o, ferleksiv, simmetriktranzitiv olsun.

Ekvivalentlik münasibəti üçün çox işlənən işarələr bunlardır: .

Misallar.

1. natural ədədlər çoxluğunda verilmiş münasibəti ekvivalentlik münasibətidir. Doğrudan da münasibətinin a), c), e) şərtlərini ödədiyi aşağıdakı sxemlərdən görünür.

a)

;

c)


e)



.

Yuxarıdakı sxemdə, məsələn, yazılışı fərqinin 5-ə bölündüyünü işarə edir.

2. Tutaq ki, müstəvi üzərində yerləşən düz xətlər çoxluğudur göstərir. binar münasibətini aşağıdakı kimi təyin edək:



Göründüyü kimi, münasibəti düz xətlərin paralel olması və ya üst-üstə düşməsi münasibətidir. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, bu münasibət a), c), e) şərtlərini ödəyir. Deməli, o, ekvivalentlik münasibətidir.

3. İstiqamətlənmiş parçalar (vektorlar) çoxluğunda bərabərlik ekvivalentlik münasibətidir.

Tərif 3. Tutaq ki, boş olmayan çoxluğunda verilmiş ekvivalentlik münasibətidir. ixtiyari element olarsa, çoxluğunun şəklində müəyyən olunan alt çoxluğuna elementinin ekvivalentlik sinfi deyilir.

Ekvivalentlik sinfi bəzən qonşu sinif, çıxıqlar sinfi kimi də adlandırılır. elementinin ekvivalentlik sinfi ilə də işarə olunur.

Yuxarıda 1-ci misalda

alt çoxluğu -ə böldükdə qalığı verən tam ədədlərdən ibarətdir, yəni -in ekvivalentlik sinfini göstərir. 2-ci misalda hər hansı düz xəttinin ekvivalentlik sinfi bu düz xətdən və ona paralel olan bütün düz xətlərdən təşkil olunmuşdur. 3-cü misalda isə verilən istiqamətlənmiş parçanın ekvivalentlik sinfi onun müəyyən etdiyi (sərbəst) vektordur.

Tərif 4. çoxluğunda verilmiş ekvivalentlik münasibətinin doğurduğu ekvivalentlik sinifləri çoxluğuna onun münasibətinə nəzərən faktor-çoxluğu deyilir və ilə işarə olunur.

Yuxarıdakı 1-ci misalda cəmi beş ekvivalentlik sinfi vardır: .

Asanlıqla görmək olar ki, olmaqla, ekvivalentlik sinifləri cüt-cüt kəsişmir. Bu xassə ekvivalentlik münasibətinin mühüm xassəsidir və o, ümumi halda da doğrudur.

Tərif 5. Əgər çoxluğunu cüt-cüt kəsişməyən və boş olmayan alt çoxluqlar ailəsinin birləşməsi şəklində göstərmək olarsa, onda bu ailə çoxluğunun bölgüsü adlanır.

Teorem 1. çoxluğunda ekvivalentlik münasibəti verilərsə, onda faktor-çoxluğu onun bölgüsüdür.

İsabatı. İxtiyari elementi götürək. mülahizəsi refleksivliyə əsasən doğru olduğu üçün, . Beləliklə, hər bir element boş olmayan ekvivalentlik sinfi doğurur və bu sinfə daxil olur. Deməli, bütün qonşu siniflərin birləşməsi çoxluğunu verir. Göstərək ki, müxtəlif ekvivalentlik sinifləri cüt-cüt kəsişmir. olarsa, onda onların ümumi elementi vardır. Göstərək ki, bu halda . Ixtiyari elementi götürək. Ekvivalentlik sinfinin tərifinə əsasən . Eyni zamanda, . Simmetriklik şərtinə görə yaza bilərik: . Tranzitivliyə görə . Lakin fərziyyəyə görə ; onda . Tranzitivlik xassəsini sonuncu iki münasibətə tətbiq edərək, alırıq . Deməli, . Beləliklə,. Yuxarıdakı mülahizələr göstərir ki, ekvivalentlik sinifləri ya cüt-cüt kəsişmir və ya üst-üstə düşür. Teoremin isbatı başa çatdı.

Bu teoremin tərsi də doğrudur. Yəni boş olmayan çoxluğunun hər bir bölgüsü müəyyən bir ekvivalentlik münasibəti təyin edir.

Teorem 2. Tutaq ki, boş olmayan çoxluğunda hər hansı alt çoxluqlar ailəsi ilə bölgü verilmişdir: yəni heç biri boş olmayan və cüt-cüt kəsişməyən elə alt çoxluqları verilmişdir ki,

Onda, çoxluğunda elə ekvivalentlik münasibəti müəyyən etmək olar ki, ailəsinə aid olan hər bir alt çoxluq ekvivalentlik sinfi olsun.

İsbatı. Teoremi isbat etmək üçün münasibəti aşağıdakı kimi təyin edilir:

j = { x, y |($s Î S)(xÎ As Ù y Î As

)}

Əvvəlcə göstərək ki, münasibəti ekvivalentlik münasibətidir. İxtiyari xÎ A elementi

verilərsə, onda elə sÎS tapmaq olar ki, As

xÎ . Onda j münasibətinin tərifindın görünür ki,

x, x Îj və x, y Îj ® y, x Îj . Deməli, j münasibəti refleksiv və simmetrikdir. Əgər

x, y Îj və y,z Îj olarsa, onda elə sÎS tapmaq olar ki, As

x, y Î . Eyni qayda ilə, onda elə

tÎS tapmaq olar ki, At

y,zÎ . Lakin, S ailəsi bölgü olduğundan As

yÎ və At

yÎ münasibətləri

downloaded from KitabYurdu.org

25

ancaq olduqda mümkündür. Deməli, As

x, y,zÎ və buna görə də x,z Îj , yəni j

münasibəti həm də tranzitivdir. Hər bir As

alt çoxluğunun ekvivalentlik sinfi olması bilavasitə

münasibətinin tərifindən alınır. Teorem 2 isbat olundu.

Eyni zamanda göstərmək olar ki, belə münasibəti yeganədir.

Tutaq ki, f : A ® B inikası verilmişdir. çoxluğunda aşağıdakı kimi ekvivalentlik

münasibəti təyin edək:

j = { x, y | x, y Î A Ù f (x) = f (y)}

( -nin ekvivalentlik münasibəti olduğunu göstərmək oxucuya təklif olunur). Bu münasibət

çoxluğunda bölgü müəyyən edir. Yeni f : A/j ® B inikası müəyyən edək. Hər bir

[x] sinfinə

f (x)Î B elementini qarşı qoyaq. Əgər

x¢Î[x] olarsa, onda f (x) = f (x¢) olduğu üçün, f

inikasının qiyməti sinfin elementindən deyil, sinfin özündən asılıdır. Aydındır ki, inyektiv

inikasdır (göstərin).