Eyler inteqralları

1. Qamma-funksiya

$x>0$ olduqda

$\Gamma (x)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}dt$ .

Qamma-funksiyasının əsas xassəsi

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$

düsturu ilə ifadə olunur. Əgər $n$ natural ədəddirsə, onda

$\Gamma (n)=(n-1)!;$ $\Gamma (n+{\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1\times 3...(2n-1)}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}$ .

2. Tamamlama düsturu

$x$ tam ədəddən fərqli olduqda

$\Gamma (x)\Gamma (1-x)={\tfrac {\pi }{\sin \pi x}}$ .

Bu düstur arqumentin mənfi qiymətləri üçün qamma-funksiyasını təyin etməyə imkan verir.

3. Beta-funksiya

$x>0$ və $y>0$ olduqda

$\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$ ,

$\mathrm {B} (x,y)={\tfrac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

düsturu dogrudur