Furye sıraları

1.Ayrılış teoremi

Əgər ($-l,l$) intervalında təyin olunmuş $f(x)$ funksiyası hissə-hissə kəsilməzdirsə, $f(x)$-in hissə-hissə kəsilməz $f'(x)$ törəməsi varsa və bütün $\xi$ kəsilmə nöqtələri requlyardırsa ( yəni $f(\xi )={\tfrac {1}{2}}[f(\xi -0)+f(\xi +0)]$ ) ,onda bu intervalda $f(x)$ funksiyası Furye sırası şəklində göstərilə bilər:

$f$($x$)$=$${\tfrac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {\tfrac {n\pi x}{l}}+b_{n}\sin {\tfrac {n\pi x}{l}})$ , (1)

burada

$a_{n}={\tfrac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)\cos {\tfrac {n\pi x}{l}}dx$ ($n$$=0,1,2,...$) (2)

və

$b_{n}={\tfrac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)\sin {\tfrac {n\pi x}{l}}dx$ ($n=0,1,2,...$) (2').

Xüsusi halda:

a)əgər $f(x)$ funksiyası cütdürsə, onda

$f(x)={\tfrac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos {\tfrac {n\pi x}{l}}$ (3)

olar, burada

$a_{n}={\tfrac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(x)\cos {\tfrac {n\pi x}{l}}$ ($n=0,1,2,...$) ;

b)əgər $f(x)$ funksiyası təkdirsə, onda

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\tfrac {n\pi x}{l}}$ (4)

olar, burada

$b_{n}={\tfrac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(x)\sin {\tfrac {n\pi x}{l}}$ ($n=0,1,2,...$) .

($0,l$) intervalında təyin olunan və yuxarıda göstərilən kəsilməzlik xassələrini ödəyən $f(x)$ funksiyasını bu intervalda həm (3) düsturu, həm də (4) düsturu şəklində göstərmək olar.

2.Tamlıq şərti

($-l,l$) intervalında kvadratı ilə birlikdə inteqrallanan ixtiyari $f(x)$ funksiyası üçün (2) və (2') əmsalları vasitəsilə formal qurulan (1) sırası Lyapunov bərabərliyini ödəyir:

${\tfrac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})={\tfrac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)^{2}dx$ .

3.Furye sıralarının inteqrallanması

($-l,l$) intervalında Riman mənada inteqrallanan $f(x)$ funksiyasının ( hətta dağılan ) (1) Furye sırasını bu intervalda hədbəhəd inteqrallamaq olar.