Predikatlar və kvantorlar

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar

Riyaziyyatın bütün sahələrində biz elə hökmlələ rastlaşırıq ki, bunlara dəyişənlər daxil olur və bu dəyişənlərin bəzi qiymətlərində biz mülahizələr alırıq. Riyazi məntiqin metodlarını belə məsələlərə tətbiq etmək üçün dəyişəni olan hökmlər-predikatlar daxil edilir.

Aşağıdakı misala baxaq: . Bu hökm nəqli cümlədir, lakin mülahizə deyil. Burada dəyişənlərdir və aydındır ki, onlar həqiqi ədədi qiymətlər alır. Əks halda cümlə mənasız olar. Dəyişənlərin hər bir ədədi qiymətlərində bu hökm mülahizəyə çevrilir: və ya və s. Dəyişənlərin ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu mümkün qiymətlər oblastı adlanır. Əlbəttə, yuxarıdakı misalda dəyişənləri müxtəlif vahidlərlə ölçülən ədədi qiymətlər ala bilməz. Belə cümlələrdə dəyişənlərin ala biləcəyi mümkün qiymətlər çoxluğu ya əvvəlcədən verilir və ya cümlənin (predikatın) məzmununa müvafiq olaraq müəyyən olunur.

Tərif. Dəyişənləri olan nəqli cümlədə dəyişənlərin yerinə onların mümkün qiymətlərini yazdıqda mülahizə alınarsa, onda belə nəqli cümlə predikat adlanır.

Məsələn, cümləsində dəyişənlərinin ixtiyati həqiqi qiymətlərində iki həqiqi ədədin bərabər olmasını ifadə edən nəqli cümlə, yəni mülahizə alınır. Deməli, baxılan cümlə predikatdır.

Predikatlar, onlara daxil olan dəyişənlıəri göstərməklə, böyük latın hərfləri ilə işarə olunur. Məsələn, yuxarıdakı predikat qısa olaraq belə işarə olunur: . Yaxud, və i. a. Riyaziyyatda isbat olunan bir çox hökmlər predikatlar vasitəsi ilə simvolik şəkildə yazıla bilər. Aşağıdakı teoremə baxaq.

Pifaqor teoremi:İxtiyari düzbucaqlı üçbcaqda hipotenuzun kvadratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir.

Əgər ilə müstəvi üzərində bütün mümkün üçbucaqlar çoxluğunu işarə etsək, onda yuxarıdakı hökmü simvolik olaraq belə yaza bilərik:

ixtiyari üçün olarsa, onda .

Məntiq əməllərinin köməyi ilə onu daha qısa yazmaq olar:

ixtiyari üçün ( .

“ixtiyari üçün” ifadəsini simvolik şəkildə () kimi yazmaq qəbul olunmuşdur. Onda Pifaqor teoremi ()( kimi yazıla bilər. Burada " simvolu ümumilik kvantoru adlanır. Beləliklə, kvantor predikatdan mülahizə alınması əməliyyatının simvoludur (işarəsidir).

ilə natural ədədinin natural bölənlərinin sayını işarə edək. Onda, natural ədədin sadə ədəd olması hökmünü simvolik olaraq belə yazmaq olar: ()(); burada sadə ədədlər çoxluğunu göstərir.

Geniş yayılmış riyazi hökmlər içərisində varlıq teoremləri adlanan hökmlərə də tez-tez rast gəlmək olar. Verilmiş düz xəttə müstəvinin verilmiş nöqtəsindən çəkilmiş perpendikulyarın varlığı haqda teorem belə ifadə olunur: ixtiyari düz xətti və nöqtəsi verilərsə, bu nöqtədən keçən və düz xəttinə perpendikulyar olan düz xətt vardır və yeganədir. Bu hökmü simvolik yazaq. ilə müstəvi üzəridə yerləşən nöqtələr çoxluğunu işarə edək. Tutaq ki, düz xətti və nöqtəsi verilmişdir. Perpendilulyarın varlığı hökmü belə ifadə olunur:

elə düz xətti var ki, .

“elə düz xətti var ki,” ifadəsini simvolik olaraq ( ) kimi işarə etmək qəbul olunmuşdur. Belə simvolika ilə yuxarıdakı hökmün birinci (varlıq) hissəsini

( ) ( ) .

şəklində yazmaq olar. simvolu varlıq kvantoru adlanır. Lakin bu simvolik yazılış deyilən hökmün bir hissəsini ifadə edir. Doğrudan da verilmiş hökmdə düz xəttinin yeganə olduğu da hökm edilir. Bu tipli təklifləri dəqiqi ifadə etmək üçün ! simvolu ilə işarə olunan “varlıq və yeganəlik” kvantoru daxil edilir. Beləliklə, verilmiş teoremin dəqiq ifadəsi belə olmalıdır:

( ) ( ) .

() ifadəsi belə oxunur: “elə yeganə bÎP vardır ki”.

Əgər predikatın garşısında sərbəst dəyişənlərin hamısı iştirak edən kvantorlar qoyulmuşsa, onda alınan yazılış mülahizə olacaqdır. Məsələn, iki dəyişənli predikatdırsa, onda

mülahizədir. Bu mülahizə yalnız və yalnız o zaman doğruluq qiymətini alır ki, –in hər bir mümkün qiymətinə qarşı -in elə qiymətini göstərmək mümkün olsun ki, bu qiymətlərdə mülahizəsi doğru olsun. Predikatlar dəyişənlərin mümkün qiymətlərində mülahizəyə çevrildiyi üçün onlar üzərində məniq əməlləri təyin olunmuşdur. Məsələn, predikatları verilərsə, onda məntiq əməlləri ilə müəyyən olan , , , predikatlarına baxmaq olar.


Mənbə: http://www.kitabyurdu.org/kitab/riyaziyyat/875-cebr-i-ii-iii-hisse.html