Tavtologiya (məntiq)

Riyazi məntiqdə tavtologiya (q.yun. ταυτολογία sözündən) — tərkib hissələrini təşkil edən terminlərin necə şərh olunmasından asılı olmayaraq həmişə doğru olan formula; burada yalnız məntiqi konstantalar sabit mənaya malikdir. Bu, bir məntiqi həqiqətdir. Məsələn, “top yaşıl rəngdədir və ya top yaşıl rəngdə deyil” ifadəsini bildirən formula, topun nə olmasından və rənginin nə olmasından asılı olmayaraq həmişə doğrudur. Tavtologiya anlayışı adətən, lakin həmişə deyil, təklif məntiqinin etibarlı formulalarına aid edilir.

Filosof Lüdviq Vitgenşteyn bu termini ilk dəfə 1921-ci ildə təklif məntiqindəki təkrarçılıqları ifadə etmək üçün tətbiq etmişdir; termin retorikadan götürülmüşdür, burada tavtologiya təkrarlanan ifadə deməkdir. Məntiqdə bir formula ən azı bir şərh altında doğru olarsa, o ödənilən(satisfiable) sayılır; buna görə də tavtologiya elə bir formuladır ki, onun inkarı ödənilməzdir. Başqa sözlə, belə formula yalnış ola bilməz.

Həm inkar, həm də təsdiq yolu ilə ödənilməz olan ifadələr formal olaraq ziddiyyət adlanır. Nə tavtologiya, nə də ziddiyyət olan formula isə məntiqi kontingent adlanır. Belə formula, ona verilən propozisional dəyişənlərin qiymətlərindən asılı olaraq ya doğru, ya da yalnış ola bilər.

ikiqat turniket işarəsi $\vDash S$ ifadəsi ilə S-in tavtologiya olduğunu göstərmək üçün istifadə olunur. Tavtologiya bəzən “Vpq”, ziddiyyət isə “Opq” ilə işarələnir. T işarəsi $\top$ bəzən istənilən (ixtiyari) bir tavtologiyanı göstərmək üçün istifadə olunur; onun dualı olan $\bot$ işarəsi (falsum) isə istənilən bir ziddiyyəti ifadə edir. Hər hansı simvolik sistemdə tavtologiya “doğru” həqiqət dəyərinin yerinə istifadə oluna bilər; məsələn, bu dəyər “1” ilə işarələnə bilər.

Tavtologiyalar təklif məntiqində əsas anlayışlardan biridir; burada tavtologiya, propozisional dəyişənlərin mümkün bütün Bul məntiqi qiymətləndirmələri altında doğru olan propozisional formula kimi müəyyən edilir. Propozisional məntiqdə tavtologiyaların əsas xüsusiyyətlərindən biri ondan ibarətdir ki, verilmiş bir formulun həmişə ödənilib-ödənilmədiyini (yəni onun inkarının ödənilməz olub-olmadığını) yoxlamaq üçün effektiv metod mövcuddur.

Tavtologiya anlayışı predikat məntiqindəki cümlələrə də şamil edilə bilər; bu cümlələr kəmiyyətləndiricilər ehtiva edə bilər ki, bu xüsusiyyət propozisional məntiq cümlələrində mövcud deyil. Doğrudan da, propozisional məntiqdə tavtologiya ilə məntiqi etibarlı formula arasında fərq qoyulmur. Predikat məntiqi kontekstində isə bir çox müəllif tavtologiyanı belə müəyyən edir: propozisional məntiqdəki bir tavtologiyanı götürüb, hər bir propozisional dəyişəni eyni qayda ilə (hər dəyişən üçün bir formula olmaqla) birinci dərəcəli formula ilə əvəz etməklə əldə edilən cümlə. Bu cür formulaların çoxluğu, predikat məntiqindəki məntiqi etibarlı cümlələrin (yəni hər bir modeldə doğru olan cümlələrin) çoxluğunun həqiqi alt çoxluğunu təşkil edir.

Tarixi

Tavtologiya sözü qədim yunanlar tərəfindən eyni fikrin iki dəfə deyilməsi hesabına doğru olduğu iddia edilən ifadəni təsvir etmək üçün istifadə olunurdu; bu mənfi məna bu gün də retorik tavtologiyalar üçün işlədilir. 1800–1940-cı illər arasında termin məntiqdə yeni məna qazanmış və hazırda ilkin mənfi çalarlarından kənar olaraq riyazi məntiqdə müəyyən tip propozisional formulaları ifadə etmək üçün istifadə edilir.

1800-cü ildə İmmanuel Kant özünün Logic adlı əsərində yazırdı:

Analitik mühakimələrdə anlayışların eyniliyi ya açıq (explicita), ya da qeyri-açıq (implicita) ola bilər. Birinci halda analitik müddəalar tavtolojidir.

Burada analitik müddəa termini analitik həqiqətə — təbii dildə yalnız daxilindəki terminlərə görə doğru olan ifadəyə — istinad edir.

1884-cü ildə Qottlob Frege Grundlagen əsərində bir həqiqətin məhz məntiq vasitəsilə çıxarıla bildiyi halda analitik olduğunu irəli sürdü. Bununla belə, o, analitik həqiqətlər (yəni yalnız terminlərin mənasına əsaslanan həqiqətlər) ilə tavtologiyalar (yəni məzmundan məhrum ifadələr) arasında fərqi qoruyurdu.

1921-ci ildə Tractatus Logico-Philosophicus əsərində Lüdviq Vitgenşteyn məntiqi çıxarışla əldə edilən ifadələrin həm analitik həqiqətlər olduğunu, həm də məna baxımından boş — yəni tavtoloji — sayıldığını irəli sürdü. Anri Puankare də 1905-ci ildə Science and Hypothesis əsərində oxşar fikirlər səsləndirmişdi. Bertran Rassell əvvəlcə Vitgenşteyn və Puankarenin bu fikirlərinə qarşı çıxaraq riyazi həqiqətlərin tavtoloji deyil, sintetik olduğunu iddia etsə də, 1918-ci ildə sonradan bu mövqeyi dəstəkləmişdir:

Məntiqin hər bir müddəası bu və ya digər mənada tavtologiyaya bənzəməlidir. O, elə bir xüsusi keyfiyyətə malikdir ki, bunu dəqiq tərif edə bilmirəm, lakin bu keyfiyyət məntiqi müddəalara xasdır, digərlərinə isə yox.

Burada məntiqi müddəa dedikdə məntiq qanunları ilə sübut edilə bilən müddəa nəzərdə tutulur.

XX əsrin əvvəllərində bir çox məntiqçilər “tavtologiya” terminini istər propozisional məntiqə, istərsə də predikat məntiqinə aid olsun, universal etibarlılığa malik olan istənilən formula üçün istifadə edirdilər. Bu geniş mənada tavtologiya — bütün şərhlər altında doğru olan və ya ziddiyyətin inkarına məntiqi cəhətdən ekvivalent olan formuladır. Tarski və Hödel bu istifadəyə əməl etmiş, termin Lewis və Langford-un dərsliyində də yer almışdır. Bu geniş istifadə bu gün daha az yayğındır, lakin bəzi dərsliklərdə hələ də qalmaqdadır.

Müasir dərsliklərdə isə “tavtologiya” termini adətən yalnız propozisional məntiqin etibarlı cümlələrinə və ya əvəzləmə yolu ilə propozisional tavtologiyalara endirilə bilən predikat məntiqi cümlələrinə şamil edilir.

Arxa fon

Propozisional məntiq propozisional dəyişənlərdən başlayır; bunlar konkret müddəaları təmsil edən atomik vahidlərdir. Formula məntiqi bağlayıcılarla birləşdirilmiş propozisional dəyişənlərdən ibarətdir və elə qurulur ki, ümumi formulun doğruluğu hər bir dəyişənin doğru və ya yalnış olmasından çıxarıla bilsin. Qiymətləndirmə (valuation) isə hər bir propozisional dəyişənə T (doğru) və ya F (yalnış) qiymətini təyin edən funksiyadır. Beləliklə, A və B propozisional dəyişənləri, disyunksiyanı və konyunksiyanı ifadə edən ikili $\lor$ və $\land$ bağlayıcıları, eləcə də inkarı göstərən $\lnot$ unar bağlayıcısı istifadə edilməklə aşağıdakı formula qurula bilər: $(A\land B)\lor (\lnot A)\lor (\lnot B)$.

Burada qiymətləndirmə A və B dəyişənlərinin hər birinə T və ya F təyin etməlidir. Lakin bu təyinat necə aparılmasından asılı olmayaraq, ümumi formula həmişə doğru olacaq. Çünki birinci disyunkt $(A\land B)$ müəyyən qiymətləndirmə altında ödənmirsə, deməli A və ya B dəyişənlərindən biri F-dir və bu halda növbəti disyunktlardan biri T olacaq. Təbii dildə desək: ya həm A, həm də B doğrudur, ya da onların ən azı biri yalnışdır.

Tərifi və nümunələr

Propozisional məntiqdə bir formula, propozisional dəyişənlərə hansı qiymətləndirmənin verilməsindən asılı olmayaraq həmişə doğru olarsa, tavtologiya adlanır. Tavtologiyaların sayı sonsuzdur.

Aşağıdakı nümunələrin bir çoxunda A — “X obyekti cildlidir”, B — “X obyekti kitabdır”, C isə — “X obyekti rəfdədir” ifadələrini göstərir. Müəyyən bir X obyektinə istinad olmadan $A\to B$ ifadəsi “bütün cildli şeylər kitabdır” müddəasına uyğun gəlir.

• $(A\lor \lnot A)$ (“A və ya A deyil”) — üçüncü halın istisnası qanunu. Məsələn: “Pişik qara rəngdədir və ya pişik qara rəngdə deyil”.
• $(A\to B)\Leftrightarrow (\lnot B\to \lnot A)$ — kontrpozisiya qanunu. Məsələn: “Əgər cildlidirsə, kitabdır; əgər kitab deyilsə, cildli deyil”.
• $((\lnot A\to B)\land (\lnot A\to \lnot B))\to A$ — reductio ad absurdum prinsipi. Məsələn: “Əgər cildli deyilsə, kitabdır və eyni zamanda kitab deyilirsə, deməli cildlidir”.
• $\lnot (A\land B)\Leftrightarrow (\lnot A\lor \lnot B)$ — De Morqan qanunu.
• $((A\to B)\land (B\to C))\to (A\to C)$ — hipotetik silloqizm.
• $((A\lor B)\land (A\to C)\land (B\to C))\to C$ — hallara görə sübut prinsipi.

Minimal tavtologiya daha qısa bir tavtologiyanın instansiyası olmayan tavtologiyadır.

• $(A\lor B)\to (A\lor B)$ tavtologiyadır, lakin minimal deyil, çünki $C\to C$ formulunun instansiyasıdır.

Tavtologiyaların təsdiqlənməsi

Verilmiş bir formulun tavtologiya olub-olmadığını müəyyənləşdirmək problemi propozisional məntiqin əsas məsələlərindəndir. Əgər formulda n dəyişən varsa, onda 2ⁿ müxtəlif qiymətləndirmə mövcuddur. Buna görə də bu problemin həlli sonlu və mexaniki xarakter daşıyır: formulun hər bir mümkün qiymətləndirmə altında həqiqət dəyəri yoxlanılır. Bunun üçün istifadə edilən alqoritmik üsullardan biri bütün mümkün qiymətləndirmələri əhatə edən həqiqət cədvəlinin qurulmasıdır.

Məsələn, aşağıdakı formulaya baxaq:

$((A\land B)\to C)\Leftrightarrow (A\to (B\to C)).$

Propozisional dəyişənlər olan A, B və C üçün 8 mümkün qiymətləndirmə mövcuddur. Bunlar aşağıdakı cədvəlin ilk üç sütununda göstərilmişdir. Qalan sütunlar yuxarıdakı formulun alt-formulalarının doğruluğunu, sonda isə hər bir qiymətləndirmə altında ilkin formulun həqiqət dəyərini göstərir.

Şablon:Tmath	Şablon:Tmath	Şablon:Tmath	$A\land B$	$(A\land B)\to C$	$B\to C$	$A\to (B\to C)$	$((A\land B)\to C)\Leftrightarrow (A\to (B\to C))$
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	F	F	F	T
T	F	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	T	T
F	T	T	F	T	T	T	T
F	T	F	F	T	F	T	T
F	F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	T	T	T	T

Son sütunun hər bir sətrində T göründüyünə görə, sözügedən cümlənin tautologiya olduğu təsdiqlənir.

Bundan əlavə, propozisional məntiq üçün deduktiv sistem (yəni sübut sistemi) də müəyyən etmək mümkündür; bu, birinci dərəcəli məntiq üçün istifadə edilən deduktiv sistemlərin daha sadə variantıdır (məsələn, belə sistemlərdən biri üçün bax: Kleene 1967, bölmə 1.9). Uyğun deduksiya sistemində bir tautologiyanın sübutu, tam bir həqiqət cədvəlinə nisbətən xeyli qısa ola bilər (n sayda propozisional dəyişəni olan bir formula üçün 2ⁿ sətirlik həqiqət cədvəli tələb olunur ki, n artdıqca bu üsul tez bir zamanda praktik olmur).

Sübut sistemləri həmçinin intuisyonist propozisional məntiqin öyrənilməsi üçün də zəruridir; çünki bu məntiqdə üçüncü halın istisnası qanunu qəbul edilmədiyindən həqiqət cədvəlləri metodu tətbiq oluna bilmir.

Əlavə ədəbiyyat

• Józef Maria Bocheński (1959) Précis of Mathematical Logic, translated from the French and German editions by Otto Bird, Dordrecht, South Holland: D. Reidel.
• Herbert Enderton (2002) A Mathematical Introduction to Logic, Harcourt/Academic Press, ISBN 0-12-238452-0.
• Stephen Kleene (1967) Mathematical Logic, reprinted 2002, Dover Publications, ISBN 0-486-42533-9.
• Hans Reichenbach (1947). Elements of Symbolic Logic, reprinted 1980, Dover, ISBN 0-486-24004-5
• Ludwig Wittgenstein (1921). "Logisch-philosophiche Abhandlung", Annalen der Naturphilosophie (Leipzig), v. 14, pp. 185–262, reprinted in English translation as Tractatus logico-philosophicus, New York Cit] and London, 1922.