İnteqral

f(x)-in a dan b'yə qədər olan inteqralı, y=f(x) funksiyasının a ile b arasındaki alanıdır.

İnteqral - kəsilməz f(x) funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi şəklinə f(x) funksiyasının inteqralı deyilir.

Tarixi

İnteqral sahəsində ən böyük işləri Qotfrid Leybnits və İsaak Nyuton görmüşlər. "İnteqral" sözünü və işarəsini ilk dəfə elmə alman alimi Qotfrid Leybnits işlətmişdir. Bu söz latıncadan "Cəm" ("ſumma", "summa") mənasını verir. İnteqral ∫ hərfi ilə işarə edilir:

$F(x)=\int f(x)+c,$

[a, b] parçasında götürülmüş f(x) funksiyasının müəyyən inteqralın düsturu belədir:

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,$

Qeyri-müəyyən inteqralın isə düsturu belədir:

$F=\int f(x)\,dx.$

Tətbiqi

İnteqralın hesablanması, mahiyyət etibarilə, əyrinin altında qalan fiqurun sahəsinin tapılamsı deməkdir. Bu işə ilk girişənlər isə Pyer Ferma kimi alimlər olmuşdu. Belə ki, O, əyrinin altında qalan fiqurun sahəsinin tapılamsilə bağlı bütün dövrlərdə riyaziyyatçıların məşğul olduqları məsələ ilə də maraqlanmışdı. Diferensial və inteqral hesabı tam formalaşdıqdan sonra istənilən kəs funksiyası məlum olan əyrini altındakı sahəni hesablaya bilər, əks təqdirdə isə bu məsələ olduqca mürəkkəb bir işə çevrilir. Bu sahədə Arximed çox böyük işlər görmüşdür. O, bir-başa olmasa da, mahiyyət etibarilə inteqral ideyasından istifadə etmişdi. Pyer Ferma da eynilə onun kimi, əyrinin altında qalan fiqurun daxilinə sahələri sonsuz azalan həndəsi silsilə əmələ gətirən dübucaqlılar çəkərək onun sahəsini tapdı. Bu silsilənin cəmini hesablamaq üçün qayda artıq məlum olduğundan, məsələnin həlli münasib bölgünün axtarılmasına gətirilirdi.

İnteqral hesabına aid nümunə

$f(x)=5x^{2}+9x+15\,$.

$f'(x)=10x+9+0\,$.

$\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$.

Bəsit funksiyaların inteqralları

Rasional funksiyalar

$\int dx=x+C$

$\int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ eğer }}n\neq -1$

$\int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C$

İrrasional funksiyalar

$\int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C$

$\int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C$

$\int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec {|x| \over a}+C$

Loqarifmik funksiyalar

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C,$

$\int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C$

Üstlü funksiyalar

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

$\int a^{ln(x)}\,dx=\int x^{ln(a)}\,dx={\frac {x\,a^{ln(x)}}{\ln {a}+1}}+C={\frac {x\,x^{ln(a)}}{\ln {a}+1}}+C$

Triqonometrik funksiyalar

Qotfrid Leybnits

Ser İsaak Nyuton

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$

Hiperbolik funksiyalar

$\int \sinh x\,dx=\,coshx+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

$\int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C$

Tərs hiperbolik funksiyalar

$\int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C$

$\int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C$

$\int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C$

$\int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C$

$\int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C$

Xarici keçidlər

• Wolfram Integrator