Çoxluqlar nəzəriyyəsi

Çoxluq nəzəriyyəsi – riyaziyyatın çoxluqların ümumi xassələrini öyrənən bölməsidir. Bir çox riyazi fənnlər, o cümlədən cəbr, analiz, ölçü nəzəriyyəsi, stoxastik və topologiya çoxluq nəzəriyyəsinə əsaslanırlar.Əsası alman riyaziyyatçısı Qeorq Kantor tərəfindən qoyulmuşdur.

Anlayışlar

Hər hansı bir çoxluğu təşkil edən obyektlərə bu çoxluğun elemnti deyilir. Çoxluqlar böyük hərflərlə işarə olunur. elemntlər isə uyğun kiçik hərflərlə işarə olunur.

Çoxluq nəzəriyyəsində $a\in A$ münasibəti o deməkdir ki, $a$ $A$ çoxluğunun elementidir. Bunun inkarı isə $a\notin A$ kimi işarə edililirlər. Bu münasibət isə onu göstərir ki, $a$ $A$ çoxluğunun elementi deyil.

Dəqiq Alt Çoxluğu

A çoxluğu B-nin altçoxluğudur

Bir çoxluq $A$ digər çoxluğun $B$ o vaxt dəqiq altçoxluğu adlanır ki, $A$ çoxluğuna aid olan ixtiyari element həm də $B$ çoxluğunun elementi olsun.

$B$ o zaman $A$-nin üstçoxluğu adlanır. Formal olaraq:

${A}\subseteq {B}:\Longleftrightarrow \forall x\left({x}\in A\rightarrow x\in B\right)$.

Bərabərlik

İki çoxluq o zaman bərabərdirlər ki, onlar eyni elementlərə malik olsunlar.

Bu analyış çoxluq nəzəriyyəsinin əsası hesab olunur. Formal olaraq belə ifadə olunur:

$A=B:\Longleftrightarrow \forall x\left(x\in A\,\leftrightarrow x\in B\right)$

Boş çoxluq

Tərkibində heç bir element olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır. O $\emptyset$ və ya $\{\}$ ilə işarə olunur. Bərabərlik qanunundan alınır ki, yalnız bir nir boş çoxluq mövcuddur. Digər boş çoxluqlar elə həmin elementləri əhatə edirlər, yəni bərabərdirlər. Uyğun olaraq: $\emptyset$ və $\{\emptyset \}$ müxtəlif olurlar. Çünki sonuncu çoxluq birincidən fərqli olan elementə sahibdir. Boş çoxluq hər bir çoxluğun alt çoxluğudur. Boş çoxluğu həmçinin aşağıdakı kimi də ifadə etmək olar:

$\emptyset _{A}=\{x\in A\mid \forall x\notin A\}$

$\emptyset _{A}$ - A çoxluğunun boş alt çoxluğudur. Aşkar

Çoxluqların kəsişməsi

$A$ və $B$-nin kəsişmə çoxluğu

Bir qeyri-xətti $U$ çoxluğu verilir. Bu çoxluqdan yaranmış kəsişmə çoxluğu A və B çoxluqlarına aid olan elemntlərdən təşkil olunur. Daha dəqiq desək, A və B çoxluqlarının kəsişməsindən yaranan çoxluğun elementləri, bu hər iki çoxluğun altçoxluğudur. Formal olaraq:

$\bigcap U:=\{x\mid \forall a\in U:x\in a\}$.

Çoxluqların birləşməsi

$\bigcap U:=\{x\mid \forall x\notin A\}$.

$A$ və  $B$ çoxluqlarından yaranmış birləşim çoxluğu