Silinən məzmun Əlavə edilmiş məzmun
Sətir 23:
Sətir 23:
=== Rasional funksiyalar ===
=== Rasional funksiyalar ===
:<math>\int dx = x + C</math>
:<math>\int dx = x + C</math>
:<math>\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ eğer }n \ne -1</math>
:<math>\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ əgər }n \ne -1</math>
:<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math>
:<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math>
:<math>\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C</math>
:<math>\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C</math>
12:12, 6 dekabr 2012 versiyası
f(x)-in a dan b'yə qədər olan inteqralı, y=f(x) funksiyasının a ile b arasındaki alanıdır.
İnteqral - kəsilməz f(x) funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi şəklinə f(x) funksiyasının inteqralı deyilir.
Tarixi
Qotfrid Leybnits
İnteqral sahəsində ən böyük işləri Qotfrid Leybnits və İsaak Nyuton görmüşlər. "İnteqral" sözünü və işarəsini ilk dəfə elmə alman alimi Qotfrid Leybnits işlətmişdir. Bu söz latıncadan "Cəm" ("ſumma", "summa") mənasını verir.İnteqral ∫ hərfi ilə işarə edilir:
F
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
+
c
,
{\displaystyle F(x)=\int f(x)+c,}
[a, b] parçasında götürülmüş f(x) funksiyasının müəyyən inteqralın düsturu belədir:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}
Qeyri-müəyyən inteqralın isə düsturu belədir:
F
=
∫
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle F=\int f(x)\,dx.}
İnteqral hesabına aid nümunə
f
(
x
)
=
5
x
2
+
9
x
+
15
{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}
.
f
′
(
x
)
=
10
x
+
9
+
0
{\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}
.
∫
(
10
x
+
9
)
d
x
=
5
x
2
+
9
x
+
C
{\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}
.
Bəsit funksiyaların inteqralları
Rasional funksiyalar
∫
d
x
=
x
+
C
{\displaystyle \int dx=x+C}
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
əgər
n
≠
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ əgər }}n\neq -1}
∫
d
x
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C}
∫
d
x
a
2
+
x
2
=
1
a
arctan
x
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C}
İrrasional funksiyalar
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
sin
x
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\sin {x \over a}+C}
∫
−
d
x
a
2
−
x
2
=
cos
x
a
+
C
{\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\cos {x \over a}+C}
∫
d
x
x
x
2
−
a
2
=
1
a
sec
|
x
|
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec {|x| \over a}+C}
Loqarifmik funksiyalar
∫
ln
(
x
)
d
x
=
x
ln
(
x
)
−
x
+
C
,
{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C,}
∫
log
b
x
d
x
=
x
log
b
x
−
x
log
b
e
+
C
{\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}
Üstlü funksiyalar
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}
∫
a
l
n
(
x
)
d
x
=
∫
x
l
n
(
a
)
d
x
=
x
a
l
n
(
x
)
ln
a
+
1
+
C
=
x
x
l
n
(
a
)
ln
a
+
1
+
C
{\displaystyle \int a^{ln(x)}\,dx=\int x^{ln(a)}\,dx={\frac {x\,a^{ln(x)}}{\ln {a}+1}}+C={\frac {x\,x^{ln(a)}}{\ln {a}+1}}+C}
Triqonometrik funksiyalar
Ser İsaak Nyuton
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
∫
csc
x
d
x
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}
∫
sin
2
x
d
x
=
1
2
(
x
−
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}
∫
cos
2
x
d
x
=
1
2
(
x
+
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}
∫
sec
3
x
d
x
=
1
2
sec
x
tan
x
+
1
2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C}
∫
sin
n
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}
Hiperbolik funksiyalar
∫
sinh
x
d
x
=
c
o
s
h
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh x\,dx=\,coshx+C}
∫
cosh
x
d
x
=
sinh
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}
∫
tanh
x
d
x
=
ln
|
cosh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C}
∫
csch
x
d
x
=
ln
|
tanh
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}
∫
sech
x
d
x
=
arctan
(
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C}
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
sinh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C}
∫
sech
2
x
d
x
=
tanh
x
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C}
Tərs hiperbolik funksiyalar
∫
arcsinh
x
d
x
=
x
arcsinh
x
−
x
2
+
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}
∫
arccosh
x
d
x
=
x
arccosh
x
−
x
2
−
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}
∫
arctanh
x
d
x
=
x
arctanh
x
+
1
2
log
(
1
−
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C}
∫
arccsch
x
d
x
=
x
arccsch
x
+
log
[
x
(
1
+
1
x
2
+
1
)
]
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C}
∫
arcsech
x
d
x
=
x
arcsech
x
−
arctan
(
x
x
−
1
1
−
x
1
+
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C}
∫
arccoth
x
d
x
=
x
arccoth
x
+
1
2
log
(
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C}
Xarici keçidlər
Şablon:Link FA
Şablon:Link FA
Şablon:Link FA