Matris

Matris (və ya Matriks) – Xətti cəbr anlayışı olub, n sayda sıra və m sayda sütundan ibarət olan rəqəmlər cədvəlidir. Matrisi Sıra Vektorları və Sütun Vektorları yaradır. Matris cədvəlinin hər bir elementinə Matris Komponenti deyilir.

„Matris" bir riyazi anlayış kimi ilk dəfə 1850-ci ildə Ceyms Cosef Silvester tərəfindən formalaşdırılmışdır. Matrislərin quruluşu onları xətti bərabərliklər kimi ifadə etməyə kömək edir.

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}$ və ya ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}}$

Matrislərin xassələri və onlar üzərində riyazi əməllər

---

m × n ölçülü A matrisi ( a_i,j, bütün 1 ≤ i ≤ m və 1 ≤ j ≤ n) adətən A[i,j] kimi qeyd olunur ki, bu da öz növbəsində $A:=(a_{i,j})_{m\times n}$ deməkdir.

Nümunə:

A matrisi:

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix}}$

4×3 ölçülü matrisdir. A[2,3]/(a_2,3)elementi 7-yə bərabərdir.

R matrisi

$R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}$

1×9 ölçülü matris və ya 9 elementli sıra vektorudur.

Kvadrat Matris

Sıralarının sayı, sütunlarının sayına bərabər (m × m) olan matrisə kvadrat matris deyilir.

Nümunə: Əgər m = 3 olarsa, onda

$A_{3}={\begin{bmatrix}1&3&5\\0&9&6\\5&0&1\end{bmatrix}}$

Matrislərin skalyar hasili

A matrisi verilmişdir və a c bir ədəddir, cA skalyar hasili c ədədinin A matrisinin hər bir elementi ilə hasilinə bərabərdir.

Nümunə:

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

Matrislərin toplanılması

m × nölçülü A və B matrisləri verilmişdir, onların cəmi olan A + B matrisinin hər bir uyğun elementi, A matrisinin uyğun elementi ilə B matrisin uyğun elementininin cəminə bərabərdir:

(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] )

Nümunə:

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Matrislərin vurulması

Fərz edək ki,m × n ölçülü A və B matrisləri verilmişdir, onalrın hasilini bu cür ifadə etmək olar:

$\,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]$

Nümunə:

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}$

Matrilərin hasili bu cür xassələrə malikdir:

• (AB)C = A(BC)
• (A + B)C = AC + BC
• C(A + B) = CA + CB

Qeyd:Matrislər üçün kommutativlik xassəsi yaramır,AB ≠ BA.

Diaqonal anlayışı və vahid matris

---

Matris diaqonalı, matrisin birinci sağ(sol) sətr və sütun elementi ilə sonuncu sol(sağ) sətr və sütün elementini birləşdirən(uyğun olaraq sağ və sol diaqonal) ədədlər sırasına deyilir.

Məsələn, burada:

$I_{3}={\begin{bmatrix}1&5&3\\4&0&2\\5&9&7\end{bmatrix}}$

sağ(baş) diaqonal elementləri 1,0,7 və sol diaqonal elementləri 3,0,5 dir.

Vahid matris o matrisə deyilir ki, sağ(baş)diaqonalı elementləri 1, digər elemetlər 0 olsun. Kvadrat matris prinsipi zəruridir.

$I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Determinant

İkili kvadrat matrisin determinantı aşağıda göstərildiyi kimi ifadə olunur.

$\det {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.$

Bu ifadəyə iki tərtibli determinant deyilir. Uyğun olaraq üç tərtibli matrisin determinantı aşağıdakı kimi yazılır.

$\det {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.$

Determinantı sıfra bərabər olan matrisə çırlaşmış (və ya məxsusi) matris, determinantı sıfırdan fərqli olan matrisə isə çırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir.

- Determinantin xasselerin :

xasse 1: determinantin uyqun setirleri ile sutunlarinin yerini deyisdikde onun qiymeti deyismez xasse 2:determinantin iki setrinin ve ya iki sutunun bir-biri ile yerini deyisdikde onun ancaq isaresi deyiser xasse 3:iki setri ve ya iki sutunu eyni olan determinant sifra = dir xasse 4:determinantin her hansi bir setrinin ve ya sutunun butun elementlerinin ortaq vuruqunun determinant isaresi

xaricine cixarmaq olar

xasse 5:dterminantin mutenasib olan setirleri ve ya sutunlari varsa bu dterminantin qiymeti sifra beraberdir xasse 6:dterminantin her hansi bir setri ve ya sutununun butun elementleri sifra beraberdir xasse 7:dterminantin her hansi bir setrinin butun elementleri iki ededin cemi kimi verildikde, hemin determinant iki determinantin cemine beraber olar, bu dterminantin birinde hemin setir elementleri olaraq birinci toplananlar,o birinde ise hemin setir elementleri olaraq ikinci toplananlar goturulur xasse 8:

Tərs matris

Fərz edək ki, A hər hansı tərtibli matris, J isə həmin tərtibdən olan vahid matrisdir. Əgər A ilə eyni tərtibdən olan elə B matrisi varsa ki,

$AB=BA=J$

bərabərliyi ödənilərsə, onda B matrisinə A-nın tərsi deyilir və B = A^-1 kimi yazılır. Teoremə görə hər hansı A matrisinin tərsi varsa, o yeganədir. A matrisinin tərs matrisinin olması üçün zəruri və kafi şərt onun determinantının sıfırdan fərqli olmasıdır.

Mənbə

Mənbə: