Silinən məzmun Əlavə edilmiş məzmun
Sətir 41:
Sətir 41:
:<math>\int a^{ln(x)}\,dx =\int x^{ln(a)}\,dx=\frac{x\,a^{ln(x)}}{\ln{a}+1} + C=\frac{x\,x^{ln(a)}}{\ln{a}+1} + C</math>
:<math>\int a^{ln(x)}\,dx =\int x^{ln(a)}\,dx=\frac{x\,a^{ln(x)}}{\ln{a}+1} + C=\frac{x\,x^{ln(a)}}{\ln{a}+1} + C</math>
=== Triqonometrik funksiyalar ==
=== Triqonometrik funksiyalar ===
[[Şəkil:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|miniatur|thumb|200px|right|[[Qotfrid Leybnis]]]]
[[Şəkil:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|miniatur|thumb|200px|right|[[Qotfrid Leybnis]]]]
[[Şəkil:Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|miniatur|thumb|200px|right|Ser [[İsaak Nyuton]]]]
[[Şəkil:Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|miniatur|thumb|200px|right|Ser [[İsaak Nyuton]]]]
07:09, 8 yanvar 2015 versiyası
f(x)-in a dan b'yə qədər olan inteqralı, y=f(x) funksiyasının a ilə b arasındakı alanıdır.
İnteqral - kəsilməz f(x) funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi şəklinə f(x) funksiyasının inteqralı deyilir.
Tarixi
İnteqral sahəsində ən böyük işləri Qotfrid Leybnis və İsaak Nyuton görmüşlər. "İnteqral" sözünü və işarəsini ilk dəfə elmə alman alimi Qotfrid Leybnits işlətmişdir. Bu söz latıncadan "Cəm" ("ſumma", "summa") mənasını verir. İnteqral ∫ hərfi ilə işarə edilir:
F
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
+
c
,
{\displaystyle F(x)=\int f(x)+c,}
[a, b] parçasında götürülmüş f(x) funksiyasının müəyyən inteqralın düsturu belədir:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}
Qeyri-müəyyən inteqralın isə düsturu belədir:
F
=
∫
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle F=\int f(x)\,dx.}
İnteqral hesabına aid nümunə
f
(
x
)
=
5
x
2
+
9
x
+
15
{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}
.
f
′
(
x
)
=
10
x
+
9
+
0
{\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}
.
∫
(
10
x
+
9
)
d
x
=
5
x
2
+
9
x
+
C
{\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}
.
Bəsit funksiyaların inteqralları
Rasional funksiyalar
∫
d
x
=
x
+
C
{\displaystyle \int dx=x+C}
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
eğer
n
≠
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ eğer }}n\neq -1}
∫
d
x
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C}
∫
d
x
a
2
+
x
2
=
1
a
arctan
x
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C}
İrrasional funksiyalar
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
arcsin
x
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C}
∫
−
d
x
a
2
−
x
2
=
arccos
x
a
+
C
{\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C}
∫
d
x
x
x
2
−
a
2
=
1
a
sec
|
x
|
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec {|x| \over a}+C}
Loqarifmik funksiyalar
∫
ln
(
x
)
d
x
=
x
ln
(
x
)
−
x
+
C
,
{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C,}
∫
log
b
x
d
x
=
x
log
b
x
−
x
log
b
e
+
C
{\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}
Üstlü funksiyalar
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}
∫
a
l
n
(
x
)
d
x
=
∫
x
l
n
(
a
)
d
x
=
x
a
l
n
(
x
)
ln
a
+
1
+
C
=
x
x
l
n
(
a
)
ln
a
+
1
+
C
{\displaystyle \int a^{ln(x)}\,dx=\int x^{ln(a)}\,dx={\frac {x\,a^{ln(x)}}{\ln {a}+1}}+C={\frac {x\,x^{ln(a)}}{\ln {a}+1}}+C}
Triqonometrik funksiyalar
Qotfrid Leybnis
Ser İsaak Nyuton
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
∫
csc
x
d
x
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}
∫
sin
2
x
d
x
=
1
2
(
x
−
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}
∫
cos
2
x
d
x
=
1
2
(
x
+
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}
∫
sec
3
x
d
x
=
1
2
sec
x
tan
x
+
1
2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C}
∫
sin
n
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}
Hiperbolik funksiyalar
∫
sinh
x
d
x
=
c
o
s
h
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh x\,dx=\,coshx+C}
∫
cosh
x
d
x
=
sinh
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}
∫
tanh
x
d
x
=
ln
|
cosh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C}
∫
csch
x
d
x
=
ln
|
tanh
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}
∫
sech
x
d
x
=
arctan
(
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C}
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
sinh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C}
∫
sech
2
x
d
x
=
tanh
x
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C}
Tərs hiperbolik funksiyalar
∫
arcsinh
x
d
x
=
x
arcsinh
x
−
x
2
+
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}
∫
arccosh
x
d
x
=
x
arccosh
x
−
x
2
−
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}
∫
arctanh
x
d
x
=
x
arctanh
x
+
1
2
log
(
1
−
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C}
∫
arccsch
x
d
x
=
x
arccsch
x
+
log
[
x
(
1
+
1
x
2
+
1
)
]
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C}
∫
arcsech
x
d
x
=
x
arcsech
x
−
arctan
(
x
x
−
1
1
−
x
1
+
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C}
∫
arccoth
x
d
x
=
x
arccoth
x
+
1
2
log
(
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C}
Xarici keçidlər
Şablon:Link FA
Şablon:Link FA
Şablon:Link FA