Matris

Matris və ya Matriks — Xətti cəbr anlayışı olub, n sayda sıra və m sayda sütundan ibarət olan rəqəmlər cədvəlidir. Matrisi Sıra Vektorları və Sütun Vektorları yaradır. Matris cədvəlinin hər bir elementinə Matris Komponenti deyilir.

"Matris" bir riyazi anlayış kimi ilk dəfə 1850-ci ildə Ceyms Cosef Silvester tərəfindən formalaşdırılmışdır. Matrislərin quruluşu onları xətti bərabərliklər kimi ifadə etməyə kömək edir.

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}$ və ya ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}}$

Matrislərin xassələri və onlar üzərində riyazi əməllər

---

m × n ölçülü A matrisi ( a_i,j, bütün 1 ≤ i ≤ m və 1 ≤ j ≤ n) adətən A[i,j] kimi qeyd olunur ki, bu da öz növbəsində $A:=(a_{i,j})_{m\times n}$ deməkdir.

Nümunə:

A matrisi:

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix}}$

4×3 ölçülü matrisdir. A[2,3]/(a_2,3)elementi 7-yə bərabərdir.

R matrisi

$R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}$

1×9 ölçülü matris və ya 9 elementli sıra vektorudur.

Kvadrat Matris

Sıralarının sayı, sütunlarının sayına bərabər (m × m) olan matrisə kvadrat matris deyilir.

Nümunə: Əgər m = 3 olarsa, onda

$A_{3}={\begin{bmatrix}1&3&5\\0&9&6\\5&0&1\end{bmatrix}}$

Matrislərin skalyar hasili

A matrisi verilmişdir və a c bir ədəddir, cA skalyar hasili c ədədinin A matrisinin hər bir elementi ilə hasilinə bərabərdir.

Nümunə:

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

Matrislərin toplanılması

m × nölçülü A və B matrisləri verilmişdir, onların cəmi olan A + B matrisinin hər bir uyğun elementi, A matrisinin uyğun elementi ilə B matrisin uyğun elementininin cəminə bərabərdir:

(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] )

Nümunə:

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Matrislərin vurulması

Fərz edək ki,m × n ölçülü A və B matrisləri verilmişdir, onalrın hasilini bu cür ifadə etmək olar:

$\,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]$

Nümunə:

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}$

Matrislərin hasili bu cür xassələrə malikdir:

• (AB)C = A(BC)
• (A + B)C = AC + BC
• C(A + B) = CA + CB

Qeyd:Matrislər üçün kommutativlik xassəsi yaramır,AB ≠ BA.

Diaqonal anlayışı və vahid matris

Matris diaqonalı, matrisin birinci sağ(sol) sətr və sütun elementi ilə sonuncu sol(sağ) sətr və sütün elementini birləşdirən(uyğun olaraq sağ və sol diaqonal) ədədlər sırasına deyilir.

Məsələn, burada:

$I_{3}={\begin{bmatrix}1&5&3\\4&0&2\\5&9&7\end{bmatrix}}$

sağ(baş) diaqonal elementləri 1,0,7 və sol diaqonal elementləri 3,0,5 dir.

Vahid matris o matrisə deyilir ki, sağ(baş)diaqonalı elementləri 1, digər elemetlər 0 olsun. Kvadrat matris prinsipi zəruridir.

$I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Determinant

İkili kvadrat matrisin determinantı aşağıda göstərildiyi kimi ifadə olunur.

$\det {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.$

Bu ifadəyə iki tərtibli determinant deyilir. Uyğun olaraq üç tərtibli matrisin determinantı aşağıdakı kimi yazılır.

$\det {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.$

Determinantı sıfra bərabər olan matrisə çırlaşmış (və ya məxsusi) matris, determinantı sıfırdan fərqli olan matrisə isə çırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir.

Tərs matris

Fərz edək ki, A hər hansı tərtibli matris, Ag isə həmin tərtibdən olan vahid matrisdir. Əgər A ilə eyni tərtibdən olan elə B matrisi varsa ki,

$AB=BA=J$

bərabərliyi ödənilərsə, onda B matrisinə A-nın tərsi deyilir və B = A^-1 kimi yazılır. Teoremə görə hər hansı A matrisinin tərsi varsa, o yeganədir. A matrisinin tərs matrisinin olması üçün zəruri və kafi şərt onun determinantının sıfırdan fərqli olmasıdır.

Həmçinin bax

• Matrisin ranqı