Rikkati tənliyi

$y^{\prime }+a(x)y+b(x)y^{2}+c(x)=0$ $(*)$

şəklində tənliyə Rikkati tənliyi deyilir. Rikkati tənliyi $b(x)=0$ olduqda xətti, $c(x)=0$ olduqda isə Bernulli tənliyinə çevrilir. Rikkati tənliyinin hər hansı $y_{1}(x)$ xüsusi həlli məlum olduqda $y(x)=y_{1}(x)+z(x)$ əvəzləməsi vasitəsilə Bernulli tənliyinə gətirlir. Ümumi halda, Rikkati tənliyi kvadraturaya gətirilə bilmir, yəni həll etmək olmur.

Tarixi

Xüsusi halda:

$b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{\alpha },\quad (**)$

haradakı $\alpha ,\,a,\,b\neq 0$ —sabiti, ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı tədqiq etmişdir Yakopo Françesko Rikkati və ailələrini Bernulli . $\alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,$ или $\alpha =-2$ Jozef Liuvill (1841)isbat etmişdir. $(*)$ şəkildə ümumi Rikkati tənliyi , $(**)$ — isə xüsusi Rikkati tənliyi adlanır.

Xassələri

1. $y^{\prime }+m(x)(Ay+By^{2}+C)=0$ olduqda dəyişənlərinə ayrılan,
2. $y^{\prime }+A{\frac {y}{x}}+B\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}+C=0$ olduqda bircins,
3. $y^{\prime }+A{\frac {y}{x}}+B(y)^{2}+{\frac {C}{x^{2}}}=0$ olduqda ümumiləşmiş bircns tənliyə çevrilir.

Nümunə.

$y^{\prime }+2ye^{x}-y^{2}=e^{2x}+e^{x}$ Rikkati tənliyini həll edin.

Həlli:

$y_{1}(x)=e^{x}$ tənliyin həlli olduğunu bilavasitə yoxlamaq olar. Onda $y(x)=z+e^{x}$ əvəzləməsini aparmaqla alırıq:

$z^{\prime }+e^{x}+2(z+e^{x})e^{x}-(z+e^{x})^{2}=e^{2x}+e^{x},z^{\prime }-z^{2}=0.$

Alınan tənliyi həll etsək, $z={\frac {1}{x+C}}.$

Deməli, $y=e^{x}-{\frac {1}{x+C}}$ Rikkati tənliyinin ümumi həlli olur.

Ədəbiyyat

1.Q.T. Əhmədov, K.Q. Həsəov, M.H. Yaqubov, Adi diferensial tənliklər kursu, Bakı, Maarif, 1978.

2. И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1984.

3. Л.С.Понтрягин, Обыкновеные дифференциальные уравнения, М., Наука, 1982.

4. В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М., 1959.

5. А.Ф.Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 2004.

6. X.M. Quliyev, K.Q. Həsəov, Difernsial tənliklər, Məsələ və misallar tənliyi, Bakı, Çaşıoğlu, 2001.

7. M.H. Yaqubov, Y.T. Mehrəliyev, Birtərtibli adi difernsial tənliklər, BDU, Bakı, 1999.

8. Л.Э.Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационные исчисление, Москва, 1969.

9. Н.М.Матвеев, Методы интегрирования обыкновеных дифференциальных уравнений, Минск, Выщэйщая школа, 1974.

10. А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников, Дифференциальные уравнения, Москва, Наука, 1985.

Xarici keçidlər

• Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation
• Eq. World: General Riccati equation

Rikkati