Kompleks ədədlər

Kompleks ədədlərinin həndəsi forması

Kvadrat tənliklərində diskriminant sıfırdan kiçikdirsə, onda bu tənliyin həqiqi ədədlər çoxluğunda kökü yoxdur. Məs. x2+9=0 tənliyinin həqiqi ədədlər çoxluğunda kökü yoxdur. Buradan alınır ki, həqiqi ədədlər çoxluğunu elə genişləndirmək lazımdır ki, yeni tənliyin kökü olsun, vurma və toplama əməllərinin xassələri saxlanılsın. Bu məqsədlə i ədədi (xəyali vahid) daxil edilir. i ədədi daxil edildikdən sonra çoxluğu elə genişləndirmək lazımdır ki, bütün həqiqi ədədlər və i ədədi bu çoxluğa daxil olsun. a və b ədədləti isə həqiqi ədədlər olduğundan bi hasili daxil edək.Buradan alınır: a + bi.

z = a+bi şəklində olan ifadə və ya i2 = 1 şərtini ödəyən i ədədinə Kompleks ədəd deyilir.Burada a-ya z-in həqiqi hissəsi Re (z) = a (Re –Rezmium) , b-yə isə z-in xəyali hissəsi Im(z)=b (Im – İmpult) deyilir.Buradan alınır ki , həqiqi ədədlər kompleks ədədlərinin içərisindədir.

Cəbri şəkildə verilmiş kompleks ədədlər – z = a+bi şəklində olan kompleks ədədə deyilir.

Tərs kompleks ədədlər – hasili 1-ə bərabər olan kompleks ədədə deyilir: zw=1.

Kompleks ədədlərin bərabərliyi – əgər iki kompleks ədəd bərabərdirsə, onların xəyali və həqiqi hissələri də bir-brinə bərabərdir: z=w , a=b.

Sırf xəyali ədəd – 0 + bi şəklində olan ifadəyə deyilir. 0 ədədi yeganə kompleks ədəddir ki, həm sırf xəyali , həm də həqiqi ədəddir.

Kompleks ədədlərinin triqonometrik şəkli

• 1)|z| = R2 = a2 + b2 (məs. 2 – 3i olduqda, a=2 və b= -3).
• 2)cos α = a / R , sin α = b / R.

Buradakı α bucağı arqumentdir:

• 1. + sin α və – cos α olduqda , tapılan bucağı π-dən çıxırlar.
• 2. – sin α və – cos α olduqda , tapılan bucağı π-dən çıxırlar.
• 3. – sin α və + cos α olduqda , tapılan bucağı 2π-dən çıxırlar.
• 4. + sin α və + cos α olduqda , tapılan bucaq olduğu kimi qalır.
• 3)z = R (cos α + isin α).

Düsturlar

• Fərqləndirmə:

  $a+bi=c+di$ означает, что $a=c$ и $b=d$ (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Toplama:

  $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$

• Çıxılma:

  $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$

• Vurma:

  $(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

• Bölmə:

  $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.$

Kompleks ədədlərə aid misallar

• Toplama:

$(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i$

• Çıxılma:

$(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i$

• Vurma:

$(2+5\mathrm i) \cdot (3+7\mathrm i) = (2\cdot 3 - 5\cdot 7)+(2\cdot 7 + 5\cdot 3)\mathrm i = -29 + 29\mathrm i$

$(2+5\mathrm i) \cdot (3+7\mathrm i) = (2\cdot 3 + 2\cdot 7\mathrm i)+(5\mathrm i\cdot 3 + 5\mathrm i\cdot 7\mathrm i) = 6 + 14\mathrm i + 15\mathrm i -35 = -29 + 29\mathrm i$

• Bölmə:

${(2+5\mathrm{i}) \over (3+7\mathrm{i})} = {(2+5\mathrm{i}) \over (3+7\mathrm{i})} \cdot {(3-7\mathrm{i}) \over (3-7\mathrm{i})} = {(6+35)+(15\mathrm{i}-14\mathrm{i}) \over (9+49)+ (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = {41+\mathrm{i} \over 58} = {41\over 58}+{1\over 58}\cdot\mathrm{i}$

• Modul:

$|6+8\mathrm i| = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$

Kompleks müstəvisi

Kompleks əməliyyatlarının həndəsi izahı

X = A + B: Kompleks müstəvidəki A və B kimi iki nöqtənin 'cəmi, X = A + B-dir və küncləri 0, A, B olan bir üçbucaqdır. X, B, A ilə bənzərdir. Bu iki kompleks ədəd, vektor fəzasındakı eyni qatqıya malikdir

X = AB: A və B kimi iki nöqtənin hasili X = AB-dir və küncləri 0, 1, A olan bir üçbucaqdır. 0, B, X bənzər üçbucaqlardır.

X = A*: A nöqtəsinin Kompleks eynigüclüsü X = A*dır və küncləri 0, 1, Adır. 0, 1, X-in güzgü görünüşüdür.

Tarixi

• "Kompleks ədəd" terminini elmə fransız alimi L.Karno gətirmişdir.Kompleks ədədlərinin həndəsi izahını isə norveç-danimarka alimi Vessel Kaspor vermişdir.

İstinadlar

Riyaziyyat istinadları

• Ahlfors, Lars (1979), Complex analysis (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577 
• Conway, John B. (1986), Functions of One Complex Variable I, Springer, ISBN 0-387-90328-3 
• Joshi, Kapil D. (1989), Foundations of Discrete Mathematics, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-21152-6 
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A comprehensive course, Dover, ISBN 0-486-65812-0 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 5.5 Complex Arithmetic", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 

Tarix istinadları

• Burton, David M. (1995), The History of Mathematics (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-009465-9 
• Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-16193-2 
• Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle\sqrt{-1}$ (hardcover ed.), Princeton University Press, ISBN 0-691-02795-1 

  A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.

• H.-D. Ebbinghaus ... (1991), Numbers (hardcover ed.), Springer, ISBN 0-387-97497-0 

  An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

Xarici keçidlər

• Euler's work on Complex Roots of Polynomials at Convergence. MAA Mathematical Sciences Digital Library.
• John and Betty's Journey Through Complex Numbers
• Dimensions: a math film. Chapter 5 presents an introduction to complex arithmetic and stereographic projection. Chapter 6 discusses transformations of the complex plane, Julia sets, and the Mandelbrot set.

• Schriften, Dokumentationen, Videos
  • Wikibooks: Komplexe Zahlen
  • Geschichte der komplexen Zahlen
  • Eine Facharbeit, die eine Einführung in die komplexen Zahlen gibt
  • Rechnen mit komplexen Zahlen
  • Anwendung der komplexen Zahlen in der Elektrotechnik
  • Dimensions: a math film. Einbettung der komplexen Zahlen in die Darstellung höherer Dimensionen (auch Chaostheorie) insb. Kapitel 5 und 6
• Programme zur direkten Ausführung
  • Java-Applet zur geometrischen Deutung
  • Java-Klasse, zur Berechnung komplexer Zahlen
  • Rechner für komplexe Zahlen