Kompleks ədədlər

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar
Kompleks ədədlərinin həndəsi forması

Kompleks ədədlər (lat. complex)- z = a+bi şəklində olan ifadəyə deyilir.

Tarixi[redaktə]

"Kompleks ədədlər" terminini ilk dəfə fransız alimi L. Karno işlətmişdir. Kompleks ədədlərinin həndəsi izahını isə norveç-danimarka alimi Vessel Kaspor vermişdir. Xəyali ədədin simvolu ("i") 1777-ci ildə isveçrə alimi Leonard Eyler tərəfindən işlədilmişdi. Sözün kökü olan "imaginarius" ifadəsi latınca "xəyali" deməkdir.

Xarakteristika[redaktə]

Kvadrat tənliklərində diskriminant sıfırdan kiçikdirsə, onda bu tənliyin həqiqi ədədlər çoxluğunda kökü yoxdur. Məs. x2+9=0 tənliyinin həqiqi ədədlər çoxluğunda kökü yoxdur. Buradan alınır ki, həqiqi ədədlər çoxluğunu elə genişləndirmək lazımdır ki, yeni tənliyin kökü olsun, vurma və toplama əməllərinin xassələri saxlanılsın. Bu məqsədlə "i" ədədi (xəyali vahid) daxil edilir. "i" ədədi daxil edildikdən sonra çoxluğu elə genişləndirmək lazımdır ki, bütün həqiqi ədədlər və "i" ədədi bu çoxluğa daxil olsun. a və b ədədləti isə həqiqi ədədlər olduğundan bi hasili daxil edək. Buradan alınır: a + bi.

z = a+bi şəklində olan ifadə və ya i2 = -1 şərtini ödəyən i ədədinə Kompleks ədəd deyilir. Burada a-ya z-in həqiqi hissəsi deyilir və Re(z) = a düsturu şəklində, b-yə isə z-in xəyali hissəsi deylir və Im(z)= b düsturu şəklində yazılır. Buradan alınır ki, həqiqi ədədlər kompleks ədədlərinin içərisindədir. Aşağıda kompleks ədələrinin növləri göstərilmişdir:

  • Cəbri şəkildə verilmiş kompleks ədədlər: z = a+bi şəklində olan kompleks ədədə deyilir.
  • Tərs kompleks ədədlər: hasili 1-ə bərabər olan kompleks ədədə deyilir: zw=1.
  • Kompleks ədədlərin bərabərliyi:əgər iki kompleks ədəd bərabərdirsə, onların xəyali və həqiqi hissələri də bir-brinə bərabərdir: z=w , a=b.
  • Sırf xəyali ədəd: 0 + bi şəklində olan ifadəyə deyilir. 0 ədədi yeganə kompleks ədəddir ki, həm sırf xəyali , həm də həqiqi ədəddir.

Kompleks ədədlərinin triqonometrik şəkli[redaktə]

Verilmiş kompleks ifadəni triqonometrik şəklə gətirmək üçün aşağıdakı üsullardan istifa edilir:

  1. |z| = R2 = a2 + b2 (məsələn; 2 – 3i olduqda, a=2 və b= -3).
  2. cos α = a / R , sin α = b / R.
  3. z = R (cos α + isin α).

Verilən cos α = a / R və sin α = b / R ifadələrində arqument olan α bucağını hesablamaq üçün aşağıdakı üsullardan istifadə edilir:

  • 1) + sin α və – cos α olduqda, tapılan bucağı π-dən çıxırlar.
  • 2) – sin α və – cos α olduqda, tapılan bucağı π-dən çıxırlar.
  • 3) – sin α və + cos α olduqda, tapılan bucağı 2π-dən çıxırlar.
  • 4) + sin α və + cos α olduqda, tapılan bucaq olduğu kimi qalır.

Düsturlar[redaktə]

  • Fərqləndirmə:
    a+bi=c+di означает, что a=c и b=d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
  • Toplama:
    (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
  • Çıxılma:
    (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
  • Vurma:
    (a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
  • Bölmə:
    \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.

Kompleks ədədlərə aid misallar[redaktə]

  • Toplama:
(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i =  8 + 7\mathrm i
  • Çıxılma:
(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i
  • Vurma:
(2+5\mathrm i) \cdot (3+7\mathrm i) = (2\cdot 3 - 5\cdot 7)+(2\cdot 7 + 5\cdot 3)\mathrm i = -29 + 29\mathrm i
(2+5\mathrm i) \cdot (3+7\mathrm i) = (2\cdot 3 + 2\cdot 7\mathrm i)+(5\mathrm i\cdot 3 + 5\mathrm i\cdot 7\mathrm i) = 6 + 14\mathrm i + 15\mathrm i -35 = -29 + 29\mathrm i
  • Bölmə:
{(2+5\mathrm{i}) \over (3+7\mathrm{i})} = {(2+5\mathrm{i}) \over (3+7\mathrm{i})} \cdot {(3-7\mathrm{i}) \over (3-7\mathrm{i})} = {(6+35)+(15\mathrm{i}-14\mathrm{i}) \over (9+49)+ (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = {41+\mathrm{i} \over 58} = {41\over 58}+{1\over 58}\cdot\mathrm{i}
  • Modul:
|6+8\mathrm i| = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10

Mənbə[redaktə]

Riyaziyyat istinadları[redaktə]

  • Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
  • (2007) "Section 5.5 Complex Arithmetic", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

Tarix istinadları[redaktə]

  • Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of \scriptstyle\sqrt{-1}, hardcover, Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1.
    A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
  • H.-D. Ebbinghaus ... (1991). Numbers, hardcover, Springer. ISBN 0-387-97497-0.
    An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

Xarici keçidlər[redaktə]

VikiAnbarda Kompleks ədədlər ilə əlaqəli mediafayllar var.