Kompleks ədədlər

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar
Kompleks ədədlərinin həndəsi forması

Kvadrat tənliklərində diskriminant sıfırdan kiçikdirsə, onda bu tənliyin həqiqi ədədlər çoxluğunda kökü yoxdur. Məs. x2+9=0 tənliyinin həqiqi ədədlər çoxluğunda kökü yoxdur. Buradan alınır ki, həqiqi ədədlər çoxluğunu elə genişləndirmək lazımdır ki, yeni tənliyin kökü olsun, vurma və toplama əməllərinin xassələri saxlanılsın. Bu məqsədlə i ədədi (xəyali vahid) daxil edilir. i ədədi daxil edildikdən sonra çoxluğu elə genişləndirmək lazımdır ki, bütün həqiqi ədədlər və i ədədi bu çoxluğa daxil olsun. a və b ədədləti isə həqiqi ədədlər olduğundan bi hasili daxil edək. Buradan alınır: a + bi.

z = a+bi şəklində olan ifadə və ya i2 = -1 şərtini ödəyən i ədədinə Kompleks ədəd deyilir.Burada a-ya z-in həqiqi hissəsi Re (z) = a (Re –Rezmium) , b-yə isə z-in xəyali hissəsi Im(z)=b (Im – İmpult) deyilir. Buradan alınır ki , həqiqi ədədlər kompleks ədədlərinin içərisindədir.

Cəbri şəkildə verilmiş kompleks ədədlər – z = a+bi şəklində olan kompleks ədədə deyilir.

Tərs kompleks ədədlər – hasili 1-ə bərabər olan kompleks ədədə deyilir: zw=1.

Kompleks ədədlərin bərabərliyi – əgər iki kompleks ədəd bərabərdirsə, onların xəyali və həqiqi hissələri də bir-brinə bərabərdir: z=w , a=b.

Sırf xəyali ədəd – 0 + bi şəklində olan ifadəyə deyilir. 0 ədədi yeganə kompleks ədəddir ki, həm sırf xəyali , həm də həqiqi ədəddir.


Kompleks ədədlərinin triqonometrik şəkli[redaktə]

  • 1) |z| = R2 = a2 + b2 (məs. 2 – 3i olduqda, a=2 və b= -3).
  • 2) cos α = a / R , sin α = b / R.

Buradakı α bucağı arqumentdir:

  • 1. + sin α və – cos α olduqda , tapılan bucağı π-dən çıxırlar.
  • 2. – sin α və – cos α olduqda , tapılan bucağı π-dən çıxırlar.
  • 3. – sin α və + cos α olduqda , tapılan bucağı 2π-dən çıxırlar.
  • 4. + sin α və + cos α olduqda , tapılan bucaq olduğu kimi qalır.
  • 3) z = R (cos α + isin α).

Düsturlar[redaktə]

  • Fərqləndirmə:
    a+bi=c+di означает, что a=c и b=d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
  • Toplama:
    (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
  • Çıxılma:
    (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
  • Vurma:
    (a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
  • Bölmə:
    \frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.

Kompleks ədədlərə aid misallar[redaktə]

  • Toplama:
(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i =  8 + 7\mathrm i
  • Çıxılma:
(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i
  • Vurma:
(2+5\mathrm i) \cdot (3+7\mathrm i) = (2\cdot 3 - 5\cdot 7)+(2\cdot 7 + 5\cdot 3)\mathrm i = -29 + 29\mathrm i
(2+5\mathrm i) \cdot (3+7\mathrm i) = (2\cdot 3 + 2\cdot 7\mathrm i)+(5\mathrm i\cdot 3 + 5\mathrm i\cdot 7\mathrm i) = 6 + 14\mathrm i + 15\mathrm i -35 = -29 + 29\mathrm i
  • Bölmə:
{(2+5\mathrm{i}) \over (3+7\mathrm{i})} = {(2+5\mathrm{i}) \over (3+7\mathrm{i})} \cdot {(3-7\mathrm{i}) \over (3-7\mathrm{i})} = {(6+35)+(15\mathrm{i}-14\mathrm{i}) \over (9+49)+ (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = {41+\mathrm{i} \over 58} = {41\over 58}+{1\over 58}\cdot\mathrm{i}
  • Modul:
|6+8\mathrm i| = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10

Kompleks müstəvisi[redaktə]

Kompleks əməliyyatlarının həndəsi izahı[redaktə]

Complex numbers addition.png X = A + B: Kompleks müstəvidəki A və B kimi iki nöqtənin 'cəmi, X = A + B-dir və küncləri 0, A, B olan bir üçbucaqdır. X, B, A ilə bənzərdir. Bu iki kompleks ədəd, vektor fəzasındakı eyni qatqıya malikdir
Complex numbers multiplication.png X = AB: A və B kimi iki nöqtənin hasili X = AB-dir və küncləri 0, 1, A olan bir üçbucaqdır. 0, B, X bənzər üçbucaqlardır.
Complex numbers conjugation.png X = A*: A nöqtəsinin Kompleks eynigüclüsü X = A*dır və küncləri 0, 1, Adır. 0, 1, X-in güzgü görünüşüdür.

Tarixi[redaktə]

  • "Kompleks ədəd" terminini elmə fransız alimi L.Karno gətirmişdir.Kompleks ədədlərinin həndəsi izahını isə norveç-danimarka alimi Vessel Kaspor vermişdir.

İstinadlar[redaktə]

Riyaziyyat istinadları[redaktə]

Tarix istinadları[redaktə]

  • Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of \scriptstyle\sqrt{-1} (hardcover ed.), Princeton University Press, ISBN 0-691-02795-1 
    A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
  • H.-D. Ebbinghaus ... (1991), Numbers (hardcover ed.), Springer, ISBN 0-387-97497-0 
    An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

Xarici keçidlər[redaktə]