Natural loqarifma

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar
Natural loqarifma funksiyasının qrafiki. Funksiya x artımı anında yavaş-yavaş müsbət sonsuzluğa yaxınlaşır. "x" sıfır olduqda isə mənfi sonsuzluğa doğru sürətlə yaxınlaşır ("yavaş-yavaş" və "sürətlə" kəlmələri istənilən digər funksiya ilə müqayisədə işlənmişdir).

Natural loqarifma — əsası e olan loqarifma. Burada e — irrasional sabitdir və təxminən 2,718281828-ə bərabərdir. Natural loqarifma adətən ln (x) kimi işarələnir. Həmçinin loge (x) və ya əgər e əsası nəzərdə tutulursa, sadəcə log("x") kimi işarələnir[1]. e (ln (e) ) ədədinin natural loqarifma vahidə bərabərdir, çünki e1 = e. Vahidin natural loqarifması (ln (1) ) sıfıra bərabərdir, çünki e0 = 1-dir. Loqarifmanın tərifinə görə istənilən əsaslı vahidin loqarifması sıfıra bərabərdir.

Natural loqarifma y= 1/x əyrisi altındakı sahədə 1-dən a-ya qədər olan istənilən müsbət həqiqi ədəd kimi müəyyən edilə bilər. Bu təyinin sadəliyi, başqa düsturlarla da uyğun gəlir. Bu düsturların bir çoxunda natural loqarifma tətbiq olunur. Bu təyinlərə əsasən e əsaslı loqarifmaya "natural" loqarifma deyilir. Bu təyini kompleks ədədlərdə də istifadə etmək olar.

Əsas natural loqarifmik eyniliklər:

e^{ \ln {a}} = a \quad (a > 0)
Qeyd: Ümumiyyətlə bu eynilik əsas loqarifmik eynilik sayılır:{a^{\log_a  b}}=b
\ln (e^a) = a
İsbatı: \ln (e^a)=a \cdot{\ln {e}}=a

Bütün loqarifmalar kimi, natural loqarifmanın hasili onların cəminə bərabərdir:

 \ln (xy) = \ln (x) + \ln (y) \! \,

Beləliklə, loqarifmik funksiyaların vurulması (müsbət ədədlər qrupu), bu funksiyalarının toplanması (həqiqi ədədlər qrupu) ilə izomorfizm təşkil edir. Bunu funksiya kimi belə təsvir etmək olar:

\ln: \mathbb{ R}^+ \to \mathbb{ R} .

İstənilən əsasdan 1-dən başqa istənilən ədədin loqarifmasını təyin etmək mümkündür. Loqarifmalar bir çox tənliklərin həllində istifadə edilir. Xüsusən də naməlum obyektin dərəcə göstəricisi kimi istifadə edilir. Məsələn, loqarifmalar məlum yarımdağılma dövrü üçün və ya radioaktivlik məsələlərinin həllində dağılma zamanın tapılması, dağılma sabitinin tapılması üçün istifadə olunur. Loqarifmalar riyaziyyattətbiqi elmlərin bir çox sahələrində mühüm rol oynayır. Bir çox məsələlərin həllində - maliyyə sahəsində, mürəkkəb faizlərin tapılması kimi əməliyyatlarda istifadə edilir.

Tarixi[redaktə]

Natural loqarifma birinci dəfə Nikolas Merkator tərəfində 1668-ci ildə dərc edilmiş Logarithmotechnia əsərində qeyd etmişdir[2]. Hərçənd ki, hələ 1619-cu ildə riyaziyyat müəllimi olan Con Spaydell natural loqarifmaların cədvəlini qurmuşdu[3]. Əvvəllər bu loqarifmanı hiperbolik loqarifma adlandırırdılar[4], çünki natural loqarifma hiperbolanın altındakı sahədə təyin olunur. Bəzən bu loqarifmanı Nepera loqarifması da adlandırırlar.

Yazılış müxtəlifliyi[redaktə]

Sovet sistemi[redaktə]

Natural loqarifmanın "ln (x)" yazılışı qəbul edilmişdir. Əsası 10 olan onluq loqarifma — "lg (x)" vasitəsilə və başqa əsaslar "log" simvolu ilə yazılış qəbul edilmişdir.

Diskret riyaziyyat, kibernetika, informatika müəlliflərinin bir çoxu əsası 2 olan loqarifmalar üçün "log (x)" işarəsindən istifadə edirlər, amma bu yazılış hamı tərəfindən qəbul edilməyib və izah olunmayıb.

Loqarifma arqumenti mötərizə daxilində (əgər bu düsturun səhv oxumasına gətirmirsə) yazılır. Loqarifmik ifadələrin qüvvətini bilavasitə loqarifmanın işarələrinə yazırlar: ln2 ln3 4x5 = [ln ( [ln (4x5)] 3)] 2.

İngilis-Amerikan sistemi[redaktə]

Riyaziyyat, statistika və mühəndislikə adətən natural loqarifma "ln (x)" və ya "log (x)" işarəsi ilə yazılır. Əsası 10 olan onluq loqarifma — "log10 (x)" kimi yazı.

Bəzi mühəndislər, bioloqlar və mütəxəssislər həmişə "ln(x)" yazırlar (bəzən "loge (x)"). Onlar əsasın natural (və ya onluq) loqarifma olduğunu nəzərdə tutaraq "log (x)" işarəsindən də istifadə edirlər.

Nəzəri informatikada, məlumat nəzəriyyəsində "log (x)" kriptoqrafiyası adətən əsası 2 olan ( "log2 (x)") loqarifmanı bildirir.

Texnika[redaktə]

Ən çox istifadə edilən proqramlaşdırma dillərində və tətbiqi proqramlar paketləri olan C, C++, SAS, MATLAB, FortranBasic "log" və ya "LOG" funksiyaları natural loqarifmaya aiddir.

Adi kalkulyatorlarda natural loqarifma ln kimi görünür. Burada log əsası 10 olan loqarifmanın işarəsidir.

Xüsusi halları[redaktə]

  • \ln(1) = 0\,
  • \ln(-1) = i \pi \quad \,
(kompleks loqarifma)
  • \ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y\;
  • \frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h \quad{\rm for}\quad h > -1\;
  • \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,

Natural loqarifma terminin mənşəyi[redaktə]

Əvvəla onu demək olar ki, hal-hazırda biz onluq say sistemindən istifadə edirik və bu əsas e əsasından daha da naturaldır. Lakin 10 riyazi ədədinin ayrıca əhəmiyyəti yoxdur. Bu əsas ən çox məişətdə istifadə olunur. Bu əsas bir çox hesablama sistemləri üçün ümumidir. Bu fikri insan barmaqlarının 10 ədəd olması ilə bağlayırlar[5]. Bəzi sivilizasiyalar başqa əsaslar ilə öz hesablama sistemlərini qurmuşdur: 5, 8, 12, 20 və 60[6][7][8].

loge loqarifması isə "natural" loqarifmadır, çünki, bu əsas riyaziyyatda çox sıx rast gəlinir. Məsələn, loqarifmik funksiyasının törəmə probleminə baxaq: [9]

\frac{ d}{ dx} \log_b (x) = \frac{ d}{ dx} \left (\frac{ 1}{ \ln (b)} \ln{ x} \right) = \frac{ 1}{ \ln (b)} \frac{ d}{ dx} \ln{ x} = \frac{ 1}{ x\ln (b)}

Əgər b əsası e-yə bərabərdirsə, onda törəmə sadəcə 1/x-ə bərabərdir və x = 1 olduqda bu törəmə vahidə bərabərdir. Başqa əsaslandırılma, loqarifma e əsasında ən "naturaldır", bunu sadəcə inteqralın və ya bir sıra Teylor terminləri ilə təyin etmək olar. Bu fikri başqa loqarifmalar haqqında demək olmaz.

Naturallığın bir sonrakı əsaslandırılması hesablamayla bağlı deyildir. Belə ki, məsələn, natural loqarifmalarla bağlı bir neçə sadə sıra var idi. Petro Menqoli və Nikolay Merkator bu sıranı loqarifmus naturalis bir neçə onluq sırası adlandırırdı. Lakin, o vaxtı hələ Nyuton və Leybnits diferensialı kəşf edilməşdir və inteqral hesablamadan istifadə olunmurdu[10].

Təyini[redaktə]

ln(a), f (x)= 1 əyrisinin altındakı sahədə 1-dən a-ya kimi təyin edilir

Adətən ln (a) qrafikdə 1/x əyrisi altındakı sahədə 1-dən a-ya qədər təyin olunur, yəni inteqralı aşağıdakı kimidir:

\ln (a) =\int_1^a \frac{1}{x} \, dx.

Natural loqarifma, həqiqətən də loqarifmadır, çünki natural loqarifma, loqarifmanın fundamental xüsusiyyətlərinə cavab verir:

\ln (ab) =\ln (a) +\ln (b) \, \!

Bunu göstərmək üçün t=\tfrac xa olduğunu güman edib, aşağıdakı qaydanı yerinə yetirmək lazımdır:


\ln (ab)
= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx
= \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx
= \int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt
= \ln (a) + \ln (b)

ln (a) = 1 olduqda e ədədi a-nın yeganə həqiqi ədədi kimi təyin olunur.

Yaxud, əgər nümunəvi funksiya əvvəl mənfi sonsuz sıralarda təyin olunursa, natural loqarifma ona əks funksiyadır, yəni e^{ \ln (x)} = x\! . Çünki həqiqi arqumentlərin, səciyyəvi funksiyanın qiymətlər oblastında bütün müsbət həqiqi ədədləri mövcuddur. Səciyyəvi funksiya artandır və bütün müsbət x-lər üçün təyin olunan funksiyadır.

Törəmə, Teylor sırası[redaktə]

Teylor çoxhədliləri \ln (1+x) \, üçün yalnız - 1 < x ≤ 1 oblastında dəqiq yaxınlaşmanı verir. Qeyd edək ki, x > 1 olduqda Teylor çoxhədlisi zəif yaxınlaşmasını verir.

Natural loqarifmanın törəməsi:

\frac{ d}{ dx} \ln (x) = \frac{ 1}{ x} .\,

Buna əsasən \ln (1+x) \, ayrılışını yerinə yetirmək olar və Teylor təxminən 0 ətrafında qiymət alır və bu Merkator sırası adlandırılır:

\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots \quad{\rm for}\quad \left|x\right| \leq 1\quad
{ \rm unless} \quad x = - 1

Sağda təsvir edilmiş \ln (1+x) \, və başqa Teylor çoxhədliləri 0 ətrafında qiymət alır. Bu yaxınlaşma yalnız - 1 < x ≤ 1 oblastında mümkümdür və bu hüdudlar xaricində yüksək dərəcəli Teylor çoxhədliləri daha az dəqiq yaxınlaşma verir. x-in yerinə x-1 qoysaq, ln (x) üçün alternativ formanı alaq:

\ln (x) =\sum_{ n=1} ^\infty \frac{ (-1) ^{ n+1}}{ n} (x-1) ^ n
\ln(x)= (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \dots
{ \rm for} \quad \left | x-1\right | \leq 1\quad{ \rm unless} \quad x = 0.[11]

Bir sıra Merkator Eyler dəyişikliyinin köməyi ilə aşağıdakı ifadəni almaq olar (yalnız x>1 olduğu halda):

\ln{ x \over{ x-1}} = \sum_{ n=1} ^\infty{ 1 \over{ n x^n}} ={ 1 \over x} +{ 1 \over{ 2x^2}} +{ 1 \over{ 3x^3}} + \dots

Bu sıra Beyli — Borueyn — Plaffa düsturuna oxşardır.

Həmçinin onu da qeyd edək ki,  x \over{ x-1} — bu xüsusi inverik funksiyadır, buna görə də y-in müəyyən ədədinin natural loqarifmasının alınması üçün sadəcə x y \over{ y-1} qiymətini mənimsətmək lazımdır.

Natural loqarifmanın inteqralı[redaktə]

Natural loqarifma g (x)= f(x) /f (x) növünün sadə inteqral funksiyasını verir: g (x) funksiyaları ln(|f(x)|) funksiyalarına bənzəyir. Bu zəncir qaydası ilə və aşağıdakı faktla təsdiq edilir:

\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.


Başqa növ:

\int{ 1 \over x} dx = \ln | x | + C

\int{ \frac{ f' (x)}{ f (x)} \, dx} = \ln | f (x) | + C.

Aşağıda g (x)=tan(x) üçün nümunə verilmişdir:

\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx
\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.

Tutaq ki, f (x) = cos (x) və f'(x) = - sin (x):

\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C
\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|}+C
\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C

burada C — sərbəst sabit həddir.

Natural loqarifmanı hissə-hissə inteqrallama üsulu ilə inteqrallamaq olar:

\int \ln (x) \,dx = x \ln (x)  - x + C.

Ədədi qiyməti[redaktə]

Ədədin natural loqarifmasının qiymətinin hesablaması üçün sıra şərtini gözləməklə Teylor üsulundan istifadə etmək olar:

\ln (1+x) = x \, \left (\frac{ 1}{ 1} - x\, \left (\frac{ 1}{ 2} - x \, \left (\frac{ 1}{ 3} - x \, \left (\frac{ 1}{ 4} - x \, \left (\frac{ 1}{ 5} - \dots \right) \right) \right) \right) \right) \quad{ \rm for} \quad \left | x\right | <1.\, \!

Bu prosesi daha tez etmək üçün aşağıdakı eynilikdən istifadə etmək olar:

\ln (x) = \ln\left (\frac{ 1+y}{ 1-y} \right) = 2\, y\, \left (\frac{ 1}{ 1} + \frac{ 1}{ 3} y^{ 2} + \frac{ 1}{ 5} y^{ 4} + \frac{ 1}{ 7} y^{ 6} + \frac{ 1}{ 9} y^{ 8} + \dots \right)
= 2\, y\, \left (\frac{ 1}{ 1} + y^{ 2} \, \left (\frac{ 1}{ 3} + y^{ 2} \, \left (\frac{ 1}{ 5} + y^{ 2} \, \left (\frac{ 1}{ 7} + y^{ 2} \, \left (\frac{ 1}{ 9} + \dots \right) \right) \right) \right) \right)
Qeyd:y = (x−1) / (x+1) və x > 0 şərtini gözləməklə.

ln (x) üçün x > 1 olduqda və x nə qədər 1-ə yaxın qiymət aldıqda bu proses sürətlə gedir. Həmçinin loqarifma ilə bağlı eyniliklərdən istifadə etmək olar:

\ln (123{,} 456) \! = \ln (1{,} 23456 \times 10^2) \, \!
= \ln (1{,} 23456) + \ln (10^2) \, \!
= \ln (1{,} 23456) + 2 \times \ln (10) \, \!
\approx \ln (1{,} 23456) + 2 \times 2{,} 3025851 \, \!

Bu metodlar hələ kalkulyatorlar yaranmamışdan əvvəl tətbiq edilirdi. Bunun üçün yuxarıda göstərilən analoji ədəd cədvəllərindən istifadə olunurdu və manipulyasiyalar yerinə yetirilirdi.

Yüksək dəqiqlik[redaktə]

Kiçik miqyaslı dəqiqliklə natural loqarifmanın hesablanması üçün bir Teylor üsulu əlverişli deyil və vaxt aparandır. Alternativ və səmərəli Nyuton üsulundan istifadə etmək olar.

Çox yüksək dəqiqlikli hesablanma üçün düstur:[12][13]

\ln x \approx \frac{ \pi}{ 2 M (1,4/s)} - m \ln 2

haradakı M - 1 və 4/s arifmetik-həndəsi ortasını ifadə edirsə və

s = x \, 2^m > 2^{ p/2},

m p dəqiqlik simvolunun təyini üçün istifadə edilir (adətən 8 qiyməti kifayət edir). Əslində, bu metodun istifadə olunması üçün səciyyəvi funksiyanın natural loqarifmasına Nyuton inversiyası tətbiq etmək mümkün olmalıdır.

Hesablama çətinliyi[redaktə]

Natural loqarifmaların (arifmetik-həndəsi ortanın köməyi ilə) hesablama çətinliyi O(M (n) ln n) bərabərdir. Burada n — dəqiqlik rəqəmlərinin sayıdır, hansının ki, natural loqarifmasının qiyməti olmalıdır, və M (n) — iki n-rəqəmli ədədin vurulmasının hesablaması çətinliyidir.

Davamlı kəsrlər[redaktə]

Hərçənd ki, loqarifmanın təsviri zamanı sadə davamlı kəsr mövcud deyil, amma bir neçə ümumiləşmiş davamlı kəsrdən istifadə etmək olar:


\log (1+x) =\frac{ x^1}{ 1} -\frac{ x^2}{ 2} +\frac{ x^3}{ 3} -\frac{ x^4}{ 4} +\frac{ x^5}{ 5} -\dots=
\cfrac{ x}{ 1-0x+\cfrac{ 1^2x}{ 2-1x+\cfrac{ 2^2x}{ 3-2x+\cfrac{ 3^2x}{ 4-3x+\cfrac{ 4^2x}{ 5-4x+\ddots}}}}}

\log \left (1+\frac{ 2x}{ y} \right) = \cfrac{ 2x}{ y+\cfrac{ x}{ 1+\cfrac{ x}{ 3y+\cfrac{ 2x}{ 1+\cfrac{ 2x}{ 5y+\cfrac{ 3x}{ 1+\ddots}}}}}}
= \cfrac{ 2x}{ y+x-\cfrac{ (1x) ^2}{ 3 (y+x) -\cfrac{ (2x) ^2}{ 5 (y+x) -\cfrac{ (3x) ^2}{ 7 (y+x) -\ddots}}}}

Mənbə[redaktə]

  1. (2005) Mathematics for physical chemistry, 3rd, Academic Press, 9. ISBN 0-125 - 08347-5., Extract of page 9
  2. J J O'Connor and E F Robertson (2001-09). "The number e". The MacTutor History of Mathematics archive. Arxivləşdirilib from [1] on 2012 - 02-12. http://www.webcitation.org/65NiCJyO4.
  3. Cajori, Florian (1991). A History of Mathematics, 5th ed. AMS Bookstore, 152. ISBN 0821821024.
  4. Flashman, Martin. "Estimating Integrals using Polynomials". Arxivləşdirilib from [2] on 2012 - 02-12. http://www.webcitation.org/65NiCr1s9.
  5. Boyers, Carl (1968). A History of Mathematics. John Wiley & Sons.
  6. Harris, John (1987). "Australian Aboriginal and Islander mathematics" (PDF). Australian Aboriginal Studies 2: 29 – 37.
  7. Large, J.J. (1902). "wid=636 The vigesimal system of enumeration". Journal of the Polynesian Society 11 (4): 260 – 261.
  8. Cajori first=Florian (1922). "Sexagesimal fractions among the Babylonians". American Mathematical Monthly 29 (1): 8 – 10. DOI:10.2307/2972914.
  9. Larson, Ron (2007). id=rbDG7V0OV34C Calculus: An Applied Approach, 8th, Cengage Learning, 331. ISBN 0-618 - 95825-8.
  10. Ballew, Pat. "Math Words, and Some Other Words, of Interest". Arxivləşdirilib from # ln on 2012 - 02-12. http://www.webcitation.org/65NiDLLaT.
  11. "Logarithmic Expansions" at Math2.org
  12. (1982) "[http: //ci.nii.ac.jp / naid/110002673332 Practically fast multiple-precision evaluation of log (x)]". Journal of Information Processing 5 (4): 247 – 250. Yoxlanılıb 30 March 2011.
  13. (1999) "Fast computations of the exponential function" 1564: 302 – 312. DOI:10.1007/3-540-49116-3_28.