Çoxluqlar nəzəriyyəsi

Vikipediya, azad ensiklopediya
Jump to navigation Jump to search

Çoxluqlar nəzəriyyəsiriyaziyyatın çoxluqların ümumi xassələrini öyrənən bölməsi. Bir çox riyazi fənlər, o cümlədən cəbr, riyazi analiz, ölçü nəzəriyyəsi, stoxastik və topologiya çoxluq nəzəriyyəsinə əsaslanırlar. Əsası alman riyaziyyatçısı Qeorq Kantor tərəfindən qoyulmuşdur.

Anlayışlar[redaktə | əsas redaktə]

Hər hansı bir çoxluğu təşkil edən obyektlərə bu çoxluğun elementi deyilir. Çoxluqlar böyük hərflərlə, çoxluğun elementləri isə uyğun kiçik hərflərlə işarə olunur.

Çoxluq nəzəriyyəsində münasibəti o deməkdir ki, çoxluğunun elementidir. Bunun inkarı isə kimi işarə edililirlər. Bu münasibət isə onu göstərir ki, çoxluğunun elementi deyil.

Alt Çoxluğu[redaktə | əsas redaktə]

A çoxluğu B-nin altçoxluğudur

Bir çoxluq digər çoxluğun o vaxt altçoxluğu adlanır ki, çoxluğuna aid olan ixtiyari element həm də çoxluğunun elementi olsun.

o zaman -nin üstçoxluğu adlanır. Formal olaraq:

.

Bərabərlik[redaktə | əsas redaktə]

İki çoxluq o zaman bərabərdirlər ki, onlar eyni elementlərə malik olsunlar.

Bu analyış çoxluq nəzəriyyəsinin əsası hesab olunur. Formal olaraq belə ifadə olunur:

Boş çoxluq[redaktə | əsas redaktə]

Tərkibində heç bir element olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır. O və ya ilə işarə olunur. Bərabərlik qanunundan alınır ki, yalnız bir nir boş çoxluq mövcuddur. Digər boş çoxluqlar elə həmin elementləri əhatə edirlər, yəni bərabərdirlər. Uyğun olaraq: müxtəlif olurlar. Çünki sonuncu çoxluq birincidən fərqli olan elementə sahibdir. Boş çoxluq hər bir çoxluğun alt çoxluğudur. Boş çoxluğu həmçinin aşağıdakı kimi də ifadə etmək olar:

- A çoxluğunun boş alt çoxluğudur. Aşkar

Çoxluqların kəsişməsi[redaktə | əsas redaktə]

-nin kəsişmə çoxluğu

A və B çoxluqlarının hər ikisinə eyni zamanda daxil olan bütün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çox­luq­la­rın kə­siş­­mə­si deyilir:

Bir qeyri-xətti çoxluğu verilir. Bu çoxluqdan yaranmış kəsişmə çoxluğu A və B çoxluqlarına aid olan elemntlərdən təşkil olunur. Daha dəqiq desək, A və B çoxluqlarının kəsişməsindən yaranan çoxluğun elementləri, bu hər iki çoxluğun altçoxluğudur. Formal olaraq:

Çoxluqların birləşməsi[redaktə | əsas redaktə]

A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bü­tün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların bir­ləşməsi de­­yi­lir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həmdə B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, onda A U B = {1,2,3,4,5,6}:A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bü­tün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların bir­ləşməsi de­­yi­lir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həm də B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, onda A U B = {1,2,3,4,5,6}:
.
 və   çoxluqlarından yaranmış birləşim çoxluğu


Ədəbiyyat[redaktə | əsas redaktə]

  • Николя Бурбаки (1963). "Основания математики. Логика. Теория множеств". Очерки по истории математики. Элементы математики. М: Издательство иностранной литературы. Башмакова, Изабелла Григорьевна (перевод с французского). 37–53.
  • Г. Кантор (1985). Труды по теории множеств. Классики науки (3450 nüs.). М.: Наука..
  • Коэн, Пол Джозеф (1974) [P. J. Cohen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. 13:1 (1971), 9–15.]. Об основаниях теории множеств (PDF). XXIX (Успехи математических наук). М. Манин, Юрий Иванович (перевод). 169–176.
  • Куратовский, Казимир, Мостовский, Анджей (1970). Теория множеств. М.: Мир. Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова.
  • Медведев, Фёдор Андреевич (1965). Развитие теории множеств в XIX веке (2500 nüs.). М.: Наука.
  • Френкель, Адольф, И. Бар-Хиллел (1966). Основания теории множеств. М.: Мир. Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией Есенин-Вольпин, Александр Сергеевич.