Böyük Ferma teoremi

Pyer Ferma.

Bu teoremi Diofantın "Hesab" kitabının ikinci hissəsində, 8-ci məsələnin qarşısında yazmışdı: "Verilən kvadartı iki kvadrata ayırın". Başqa sözlə desək, verilmiş a ədədi üçün x² + y² = a² tənliyini rasional həllərini tapmaq tələb olunur. Bu da ki bizlərə çox yaxşı tanış olan Pifaqor teoremidir və onun sonsuz sayda həlli var. Ferma qeyd etmişdir: "Kubu iki kuba, kvadratın kvadratını iki kvadratın kvadratına, ümumiyyətlə dərəcəsi ikidən böyük sonsuzluğa qədər heç bir qüvvəti bütün həmin dərəcəli iki qüvvətə ayırmaq olmaz. Mən bunun həqiqətən çox gözəl isbatını tapmışam, ama onun üçün yer olduqca azdır". Tutaq ki, bizə belə bir məsələ verilib:
Verilmiş tam müsbət n üçün $a^{n}+b^{n}=c^{n}\,\!$ düsturunu ödəyən a, b və c tam ədədlərini tapın(a, b, c>0). Başqa sözlə xⁿ + yⁿ = zⁿ qeyri-müəyyən tənliyinin n≥3 olduqda, heç bir rasiolnal həlli yoxdur. Bu təklif Fermanın böyük və ya sonuncu teoremi adlanır.

İlk baxışdan asan və ya adi görünən bu məsələ təxminən üç əsr yarım dünyanın böyük riyaziyyatçılarına meydan oxumuşdur, onun isbatını riyaziyyatçılar 350 ildən çox axtarmalı olmuşlar. Bu məsələnin həlli Ferma Teoremi (və ya Böyük Ferma Teoremi və ya Son Ferma Teoremi) ilə bağlıdır.

Teoremin mahiyyəti

Teoremdə deyilir: İstənilən tam n>2 üçün $a^{n}+b^{n}=c^{n}\,\!$ bərabərliyini ödəyən tam müsbət a, b və c ədədləri tapmaq mümkün deyil.

Deməli, verilən məsələnin həlli yalnız n=1 və n=2 hallarında mümkün ola bilər. Doğrudan da n=1 və n=2 olduqda yuxarıdakı bərabərliyi ödəyən həllər var, hətta belə həllər (yəni bərabərliyi ödəyən müsbət tam a, b və c ədədləri sonsuz saydadır!. Məsələn, n=1 olarsa a və b olaraq istənilən iki tam müsbət ədəd, c olaraq onların cəmini götürmək olar: a=1, b=2, c=3; a=4, b=7, c=11 və s. Doğrudan da $1^{1}+2^{1}=3^{1}\,\!$. n=2 üçün, məsələn. $3^{2}+4^{2}=5^{2}\,\!$. onu da qeyd edək ki, n=2 halında baxılan əsas bərabərliyi ödəyən a, b, c üçlüyünə Pifaqor üçlüyü deyilir.

n>2 üçün isə məsələnin həlli yoxdur.

Bu teorem Pyer Ferma tərəfindən 1637-ci irəli sürülmüşdür və Fermanın şərəfinə Ferma Teoremi adlandırılmışdır. Lakin Ferma öz qeydlərini yazdığı kitabın səhifələrində teoremin isbatını verməmiş, onun uzun olduğu demişdir. "Kubu iki kuba, kvadratın kvadratını iki kvadratın kvadratın, ümumiyyətlə dərcəsi ikidən böyük sonsuzluğa qədər heç bir qüvvəti bütün həmin dərəcəli iki qüvvətə ayırmaq olmaz. Mən bunun həqiqətən çox gözəl isbatını tapmışam, ama onun üçün yer olduqca azdır". Təbii ki, o, bütün n-lər üçün teoremin əsl isbatını bilmirdi. Bu və buna bənzər tənliklər, yəni həlli tam müsbət ədədlər arasında axtarılan tənliklər ilk dəfə Qədim yunan riyaziyyatçısı Diofantın kitabında daxil edilmişdir.

Teoremin isbatına cəhdlər

Fermanın özü yalnız n=4 halında teoremin isbatını saxlamışdır. Leonard Eyler teoremin n=3 halını isbat etməsindən 30 il keçdikdən sonra bu halı 1738-ci ildə yenidən isbat etdi. 1825-ci ildə isə Lejön-Dirixle və Lejandr tərəfindən teoremin n=5 halı üçün isbatı verilmişdir. Bu teoremlərin hər birinin isbatının hər iki hal üçün olduqca mürəkkəb və uzun olduğunu nəzərə alaraq burada onun isbatlarını vermirik. Ümumiyyətlə, bu halların isbatı üçün tamamilə yeni bir ideya lazım idi ki, bunu da Ferma tapmışdır: bu sonsuz enmə metodudur. Ferma təsdiq etmişdir ki, özünün ədədlərə aid ən məşhur teoremlərini o məhz bu üsulla isbat etmişdir. Enmə üsulu bu gün də ədədlər nəzəriyyəsinə mühüm rol oynayır. Eyler n=3 qiymətində Ferma teoremini 1768-ci ildə isbat etmişdir. Bunun üçün tamamilə yeni bir ideya tələb olumurdu. O, burda çox cəsarətli bir addım atmışdır. Bu ideyanın mahiyyəti adi tam ədədlərə aid məsələlərin tədqiqində a+b$\scriptstyle {\sqrt {-n}}$ , şəklində olan xəyali ifadələrin tətbiqindən ibarətdir. Eyler öz isbatında α = a+b ${\sqrt {-3}}$ şəklində ifadəyə baxmışdır. Lakin bütün bunlarla və adları sadalanayan məsələlərlə əlaqədar olaraq Eyler öz mülahizəsini əsaslandırmadı və bu məsələlə yenə də Ferma teoreminin isbatı ilə bağlı yenidən XIX əsr riyaziyyatçıları qarşısında dayandı. 1 mart 1847-ci ildə fransız riyaziyyatçısı və fiziki Qabriel Lame Paris Elmlər Akademiyasının iclasında böyük teoremin yeni isbatını məruzə etmişdir. Digrə məşhur farnsız riyaziyyatçısı Liuvill bu barədə yazırdı: "edilən cəhdlər mənə göstərdi ki, əvvəlcə kompleks ədədlər üçün "hasil yalnız bir üsulla sadə vuruqlarına ayrıla bilər" elementar fərxiyyəsinə analoji teoremi müəyyən etmək lazımdır. Lamenin fikri məndə yalnız bu ikri təsdiqlədi, burda doldurulası boşluq yoxdur ki?" Bu qeydlər sayəsində riyaziyyatın bu bölməsi bir ilə yaxın müddətdə fransız riyaziyyatçılarının diqqət mərkəzində oldu. Bu sahə ilə Lamenin özü və digər alimlər intensiv şəkildə məşğul oldular. Onların tədqiqatları nəticəsində tam ədədlərin toplama, vurma və bölməyə nəzərən xassələrini ən ümumi şəklidə ifadə edən yeni bir riyazi obyekt – halqa anlayışı formalaşdı. Həmçinin sonralar alman riyaziyyatçısı Böyük teoremlə məşğul olarkən cəbrə yeni mühüm obyektlər – ideallar daxil etmişdir.

Son cəhdlər

XX əsrin sonu riyaziyyatçılar üçün həqiqi sensasiya ilə əlamətdar oldu. Fermanın böyük teoremini isbat etmək cəhdi, nəhayət ki, müvəffəqiyyətlə nəticələndi. 1995-ci ilin yayında aparıcı riyaziyyat jurnalllarının birində — "Riyaziyyat salnaməsi" jurnalında teoremin tamm isbatı dərc olundu. 100 səhifədən çox həcmə malik olan isbat iki məaqaləyə bölünərək bütün məqaləni tam tuturdu. İsbatın əsas hisəsi təxminən 10 il bu məşhur problem üzərində çalışan Prinston universitetinin professoru 42 yaşlı Endri Wilesə məxsus idi. Son mərhələdə isə Oksford universitetinin professoru Riçard Teylor qoşulmuşdur. O, Uaylsın ilkin isbatında olan boşluğu aradan qaldırmağa kömək etmişdir. Uayls bu ilkin isbatı 1993-cü il 23 iyulda Kembricdə İsaak Nyuton adına Riyaziyyat institutunda oxuduğu mühazirələrində şərh etmişdir. Bu iş gərgin yaradıcı əməyin məhsulu idi. Uaylsın etirafına görə arvadından başqa heç kəs onun bu sahədə işlədiyini bilmirdi. XX əsrdə böyük teoremlə sürətlə inkişaf edən riyazi nəzəriyyəylə cəbri həndəsənin əlaqəsi üzə çıxdı. Məhz bu nəzəriyyə çərçivəsində müvəffəqiyyət əldə olundu. Ferma teoreminin isbatında çoxlu riyaziyyatçıların əməyi olmuşdur. Uaylsın ideyası xⁿ + yⁿ = zⁿ tənliyi və $y^{2}=x(x-a^{n})(x-c^{n})$ tənlyi ilə verilən elliptik əyrilər arsındakı çox yaxşı əlaqəyə əsaslanıb. İlk dəfə ona fransız riyaziyyatçısı İv Elleqarş diqqət yetirmişdir. Əvvəllər elliptik əyrilər çoxluğunun modulyarlıq adlanan bir xassəsi hipoteza şəklində yapon riyaziyyatçısı ifadə etmişdi. 1985-ci ildə alman alimi Herxard Fery, $y^{2}=x(x-a^{n})(x-c^{n})$ əyriləri üçün doğru olan hipotezdən Ferma teoremini almağın mümkünlüyünün ideyasını təklif etdi. Sonralar amerika alimləri onun fərziyyəsini təsdiq etdi. Beləliklə, Ferma teoremini isbat etmək üçün yalnız Yapon alminin hipotezinin isbatını tapmaq qalırdı. Məhz bu Uayls tərəfindən Kembric mühaizrlərində şərh edilmişdir. Belə hünəri heç kim kifayət qədər az tanınan riyaziyyatçıdan gözləmirdi. Mütəxəssilər Uaylsın verdiyi isbatı diqqətlə yoxlamağa başladılar. Bir neçə aydan sonra onlar Uaylsın işlərində boşluq tapdılar. Ümumilikdə isə onun ideyalarının müasirliyi, dərinliyi və gözəlliyi təsdiq olundu. Uayls isbatı düzəltmək qərarına gəldi. Bir ilə yaxın vaxt keçdikdən sonra onu Sürixdə keçirilən riyaziyyat üzrə növbəti Beynəlxalq Konqresə dəvət etdilər. Bütün riyaziyyat aləmi onun məruzəsini, əlbəttə ki, səbirsizliklə gözləyirdilər. Təbii ki, Uayls isbatı çıxış növbəsinə kimi tamamalamaq istəyirdi, amma o, buna müvəffəq olmadı. Həmkarları onu məruzədən əvvəl auditoriyanın yanındakı pilləkənlərdə oturub necə işlədiyinin şahidi oldular. Uayls kafedraya qalxarkən onu donmuş vəziyyətdə gözləyən zala isbatı tam yerinə yetirmədiyi xəbərini verdi. Zal onu dostcasına alqışladı. Artıq konqresdən bir ay sonra Uaylsın özünün sözlərinə görə əsas ideyası işıqlandı və yaranmış boşluğu nəhayət ki doldura bildi. Bu dəfə isabt son dərəcə dəqiq yoxlanmalara davam gətirdi və çap olundu.

Həmçinin bax

• Ferma nöqtəsi

Xarici keçidlər

• Wiles, Andrew (1995). Modular elliptic curves and Fermat's last theorem Arxivləşdirilib 2011-05-10 at the Wayback Machine, Annals of Mathematics (141) (3), 443–551.
• Taylor, Richard & Wiles, Andrew (1995). Ring theoretic properties of certain Hecke algebras Arxivləşdirilib 2001-11-27 at the Wayback Machine, Annals of Mathematics (141) (3), 553–572.
• Faltings, Gerd (1995). The Proof of Fermat's last theorem by R. Taylor and A. Wiles, Notices of the AMS (42) (7), 743–746.
• Daney, Charles (2003). The Mathematics of Fermat's last theorem Arxivləşdirilib 2004-08-03 at the Wayback Machine. Retrieved Aug. 5, 2004.
• O'Connor, J. J. & and Robertson, E. F. (1996). Fermat's last theorem. The history of the problem Arxivləşdirilib 2004-08-04 at the Wayback Machine. Retrieved Aug. 5, 2004.
• Shay, David (2003). Fermat's last theorem. The story, the history and the mystery. Retrieved Aug. 5, 2004.
• The Moment of Proof : Mathematical Epophanies, by Donald C. Benson; Oxford University Press; ISBN 0-19-513919-4 (paperback, 1999)
• С. Сингх, Великая теорема Ферма, М. МЦНМО, 2000.
• Freeman, Larry (2005). Fermat's Last Theorem Blog. A blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Pierre Fermat to Andrew Wiles.
• Kisby, Adam William (2004). Fermat's Last Theorem Revisited: A Marginal Proof in Ten Steps Arxivləşdirilib 2005-12-16 at the Wayback Machine. Parody.