Laplas teoremi

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Jump to navigation Jump to search

Laplas teoremi- determinantların minorlar üzrə ayrılışı.

TEOREM (Laplas).-tərtibli determinantının ixtiyari sayda sətrini (sütununu) seçib bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunlardan mümkün olan bütün müxtəlif tərtibli minorlar düzəltsək, onda bu minorların öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasilləri cəmi determinantın özünə bərabər olar.

İSBATI. Tutaq ki, -tərtibli determinantında hər hansı nömrəli sətirləri qeyd edib, həmin sətirlərdən bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən alınan ölçülü matrisdən buradakı sütunlarının köməyi ilə bütün mümkün ola bilən müxtəlif -tərtibli minorlarını düzəltmişik (bunun üçün "kombinezon sayağı" qaydadan istifadə edirlər, yəni seçilmiş dənə nömrəli sətirlərin nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunların hər dəfə heç olmasa bir nömrəsi ilə fərqlənən müxtəlif ardıcıl nömrəli sütunlarla kəsişmələrinə baxmaq gərəkdir). Bu yolla düzəldilən minorlarının cəbri tamamlayıcıları olsun. Göstərməliyik ki:

(1)

-lər öz işarələri ilə verilən determinantının hədləridir. Həmçinin buradakı minorları bir-birindən heç olmasa bir sütunu ilə fərqləndiyi üçün (1) cəmindəki toplananlar da ortaq həddə malik olmamalıdır. Deməli, (1) cəmində iştirak edən hasillərdən alınan hədlər hamısı verilən -tərtibli determinantın müxtəlif hədləridir. Teoremin isbatını tamamlamaq üçün bu hədlərin sayının olduğunu göstərməliyik. minorlarının hər biri -tərtibli olduğundan bunların hədləri sayı , cəbri tamamlayıcılar isə tərtibli olduğundan bunlardakı hədlərin sayı olur. hasilinin hər birində determinantın sayda həddi olmalıdır. (1) cəmində sayda toplanan olduğundan burada iştirak edən müxtəlif hədlərin sayı dənə olmalıdır. Buradakı əmsallı determinantın sayda sətrindən düzəldilməsi mümkün ola bilən tərtibli minorların sayıdır. Bu minorların düzəldilməsi qaydası və quruluşu elədir ki, onlar bir-birindən ancaq sütunlar ilə fərqlənirlər(heç olmasa bir sütunu ilə). Onda belə minorların sayı olmalıdır. Deməli, (1) cəmində olan hədlərin ümumi sayı

olur, yəni bu cəmdə determinantın təkrar olunmamaq şərti ilə bütün sayda hədlərinin hamısı iştirak edir.

Ədəbiyyat

  • Maarif Əkbərov "Cəbr və Ədədlər nəzəriyyəsi"
  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
  • Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2004.