Laplas tənliyi

Pyer Simon Laplas

Laplas tənliyi riyaziyyatda və fizikada ikitərtibli xüsusi törəməli diferensial tənlikdir. Xüsusiyyətləri ilk dəfə Pyer Simon Laplas tərəfindən tətqiq edildiyinə görə onun adını daşıyır. Tənliyin yazılışı aşağıdaki kimidir:

$\nabla ^{2}\!f=0\qquad {\mbox{və ya}}\qquad \Delta f=0,$

Burada $\Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$ Laplas operatoru, $\nabla \cdot$ divergensiya operatoru, $\nabla$ qradiyent operatoru və $f(x,y,z)$ isə iki dəfə diferensiallana bilən həqiqi qiymətli funksiyadır. Belə ki, Laplas operatoru skalyar bir funksiyanı başqa skalyar funksiyaya inkas etdirir. Sağ tərəfdə $h(x,y,z)$ funksiyası təyin olunarsa, onda Laplas tənliyi aşağıdaki kimi verilir:

$\Delta f=h.$

Buna Puasson tənliyi, Laplas tənliyinin ümumiləşdirilməsi deyilir. Laplas və Poisson tənlikləri eliptik xüsusi törəməli diferensial tənliklərin ən sadə nümunələridir. Laplas tənliyi, həmçiin Helmholtz tənliyinin xüsusi bir haldır. Laplas tənliyinin həllərinin ümumi nəzəriyyəsi potensial nəzəriyyə olaraq bilinir. Laplas tənliyinin həlli fizikanın bir çox sahələrində, xüsusən elektrostatikada, qravitasiya və maye dinamikasında mühüm əhəmiyyət daşıyan harmonik funksiyalardır. İstilik keçiriciliyinin öyrənilməsində Laplas tənliyi sabit vəziyyətli istilik tənliyidir. Ümumiyyətlə, Laplas tənliyi tarazlıq vəziyyətlərini və ya zamandan açıq şəkildə asılı olmayan vəziyyətləri təsvir edir.

Müxtəlif koordinat sistemlərində formaları

Karteziyan koordinant sistemində,

$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.$

Slindirik koordinat sistemində,

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.$

Sferik koordinat sistemində,

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$

Daha ümumi olaraq, əyrixətli koordinat sistemində,

$\nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,$

və ya

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\det\{g_{ij}\}).$

Xarici keçidlər

• Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Example initial-boundary value problems using Laplace's equation from exampleproblems.com.
• Weisstein, Eric W. Laplace's Equation (ing.) Wolfram MathWorld saytında.
• Find out how boundary value problems governed by Laplace's equation may be solved numerically by boundary element method