Myöbius funksiyası

Ədədlər nəzəriyyəsində əsas yerlədən birini də Myöbius funksiyası tutur. Myöbius funksiyasını $\mu (x)$ kimi işarə edirlər.

TƏRİF. Aşağıdakı şərtlər təyin edilən $\mu (x)$ funksiyası Myöbius funksiyası adlanır:

1) $\mu (x)=1$ ;

2) $n>1$ və $n=p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{k}$ kanonik ayrılışı üçün $\mu (n)=(-1)^{k}$ (göründüyü üzrə $k$ ədədi $n$ -in sadə bölənlərinin sayıdır);

3) $n$ natural ədədi $p^{2}$ -na bölünürsə( $n{\overline {\vdots }}p^{2}$ , $p$ -sadə ədəddir), $\mu (n)=0$

Misal 1: 1. $\mu (30)=\mu (2\cdot 3\cdot 5)=(-1)^{3}=-1;$ $\mu (85)=\mu (5\cdot 13)=(-1)^{2}=1;$ $\mu (28)=\mu (2^{2}\cdot 7)=0;$ $\mu (48)=\mu (2^{4}\cdot 3)=0;$ $\mu (105)=\mu (3\cdot 5\cdot 7)=(-1)^{3}=-1;$

2. $\mu (1)=1;$ $\mu (5)=-1;$ $\mu (9)=0;$

$\mu (2)=-1;$ $\mu (6)=1;$ $\mu (10)=1;$

$\mu (3)=-1;$ $\mu (7)=-1;$ $\mu (11)=-1;$

$\mu (4)=0;$ $\mu (8)=0;$ $\mu (12)=0;$

Myöbius funksiyasının sadə xassələrinə aid olan aşağıdakı teoremlərlə tanış olaq.

Teorem 1. Myöbius funksiyası multiplikativ funksiyadır, yəni $(n_{1},n_{2})=1$ üçün $\mu (n_{1}\cdot n_{2})=\mu (n_{1})\cdot \mu (n_{2});$

Teorem 2. İxtiyari $n$ natural ədədi $(n>1)$ və onun $n/d$ natural bölənləri cəmi üçün

\sum \limits _{n/d}\mu (d)=0.

Misal 2: $n=252.$ $n=252=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 7.$ $n=252$ üçün $\sum \limits _{n/d}\mu (d)$ cəmini yalnız sıfır olmayan toplananları nəzərə almaqla yazsaq: