Pifaqor nəzəriyyəsi

Vikipediya, azad ensiklopediya
Jump to navigation Jump to search


Pifaqor nəzəriyyəsi

Pifaqor nəzəriyyəsiplanimetriyada düzbucaqlı üçbucaqda tərəflər arasındakı münasibətləri ifadə edən nəzəriyyədir. Yunan riyaziyyatçısı Pifaqorun adı ilə adlandırılmışdır. Mənbələr Pifaqordan əvvəl bu teoremin başqa xalqlar tərəfindən bilindiyini göstərir. Nəzəriyyə belə ifadə olunur: Düzbucaqlı üçbucaqda katetlərin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir.

Əgər ab katetlər, c isə hipotenuz olarsa onda

vəya, c-ni tapmaq üçün:

Pifaqor teoremi sahə anlayışının köməyi ilə aşağıdakı kimi ifadə olunur: Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz üzərində qurulmuş kvadratın sahəsi katetlər üzərində qurulmuş kvadratların cəminə bərabərdir. Pifaqor teoreminin tərs teoremi də doğrudur. Bu nəzəriyyədə düzbucaqlı üçbucağın iki tərəfi məlum, bir tərəfi isə naməlum olur.

Bu da pifaqor teoreminin 2-ci üsuludur üsuludur.

{a^2+b^2=c^2} c^2=kök altda a^2+b^2 də pifaqor teoreminin üsuludur.
yni fakt Babilistan, Çin və Meksikada ehramların tikintisində istifadə edilib. Ondan da əvvəl bu teorem hindlilərdə istifadə olunub. Ona görə demək olar ki, Pifaqor bu xassəni ilk olaraq ümumiləşdirib, isbat edib, bununla da praktikadan elmə gətirib.

Ona görə də təsadüfi deyil ki, Pifaqor teoremi ən çox müxtəlif isbatı olan teorem kimi tarixə düşüb. 1940-cı ildə nəşr olunmuş kitabda bu teoremin 370 müxtəlif isbatı verilib. Biz isə burada 5 növ isbat ilə kifayətlənəcəyik.

Pifaqor teoremi Teorem: Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Əgər katetləri a və b, hipotenuzu c ilə işarə etsək c2=a2+b2.

İsbat 1: Bu isbatı Pifaqor özü vermişdir. Başqa bir mənbədə bu isbatı qədim çinlilərin adına çıxırlar. Şəkildəki düzbucaqlı üçbucağın b katetinə a qədər, a katetinə b qədər əlavə edib uzadaq. Sonra isə bu fiquru kvadrata qədər tamamlayaq. Şəklə diqqət yetirsək görərik ki, alınmış kvadratın tərəfi a+b-dir.

Düzbucaqlı üçbucaqPifaqor teoremi

Böyük kvadratın daxilindəki 4 üçbucağın hamısı bərabərdir. Ona görə ki, bu üçbucaqların hamısının uyğun katetləri bərabərdir və aralarındakı bucaqlar isə düz bucaqdır. Deməli üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlamətinə görə bu üçbucaqlar bərabərdir. Yəni hamısının hipotenuzu c-yə bərabərdir.

Bu isə o deməkdir ki, daxildə alınan dördbucaqlı tərəfi c olan rombdur. İndi bu rombun bucaqlarına baxaq. Yuxarıda qeyd etdik ki, bütün 4 üçbucaq bərabərdir. Deməli onların uyğun bucaqları da bərabərdir. Şəkildə bərabər bucaqlar eyni hərflərlə işarə edilib. Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180° olduğunu nəzərə alsaq hər bir üçbucaq üçün α+β+90°=180°. Deməli α+β=90° olacaq. Baxsaq görərik ki, həmin α və β bucaqları dördbucaqlının hər bir təpəsinə söykənib və onunla birlikdə açıq bucaq (180°) əmələ gətirir. Yəni daxili dördbucaqlının hər təpəsindəki bucaq α və β ilə birlikdə 180° olacaq. α+β=90° olduğu üçün bu bucaq da 90°-yə bərabərdir.

Deməli bayaq romb olduğunu isbat etdiyimiz dördbucaqlı əslində kvadrat imiş. Onda həmin daxili kvadratın sahəsi c2 olacaq. İndi böyük kvadratın sahəsini iki cür hesablayaq. Tərəf vasitəsilə bu sahə

S=(a+b)2=a2+2ab+b2 Daxildəki üçbucaqların sahəsini s ilə işarələsək, 4 dənə üçbucaq və mərkəzdəki kvadratın sahələri cəmi elə böyük S sahəsini verəcək.

S=c2+4s=c2+4⋅ab2=c2+2ab Bu sahələri bərabərləşdirsək

a2+2ab+b2=c2+2ab=>c2=a2+b2 İsbat 2: İndi qədim Hindistanda verilən isbata nəzər salaq. Burada da düzbucaqlı üçbucaqları əvvəlcə yuxarıdakı kimi kvadrata tamamlayırlar. Sonra bu 4 üçbucağı başqa cür birləşdirib eyni kvadratı bu dəfə başqa cür alırlar.

Hindistan isbatı

Bu alınan kvadrat 4 üçbucaq və 2 kiçik kvadratdan təşkil olunub. Özü də bu kvadratların tərəfləri a və b-dir. Yenə sahələri bərabərləşdirsək görərik ki, hər iki sahədə eyni düzbucaqlı üçbucaqlar 4 dəfə iştirak edir. Onların sahəsini s ilə işarə etsək

S=c2+4s və

S=a2+b2+4s c2+4s=a2+b2+4s⇒c2=a2+b2 İsbat 3: Bu isbatı 20-ci ABŞ prezidenti Ceyms Qarfild (1831-1881) verib. 1976-cı il “New England Journal of Education” jurnalının 1 aprel nüsxəsində həmin isbat dərc edilsə də Qarfildin ölümündən 60 il sonra aşkarlanıb. Bəlkə də jurnal 1 apreldə buraxılmasaydı münasibət daha ciddi olardı :-). Bu isbat son dərəcə trivialdır.

Ceyms Qarfildin isbatı

Qarfild düzbucaqlı üçbucağın eynisini onun b tərəfinə şəkildəki kimi əlavə edir. Nəticədə oturacaqları a və b, hündürlüyü isə a+b olan trapesiya alır. γ bucağının düz bucaq olması eynilə isbat1-də olduğu kimi göstərilir.

Onda alırıq ki, bu trapesiya üç düzbucaqlı üçbucaqdan ibarətdir. Bunların ikisini biz özümüz bir-birinə bərabər qurmuşuq. Üçüncüsü isə katetləri bir-birinə bərabər olan bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaqdır. Trapesiyanın sahəsini iki cür tapaq. Bilirik ki, trapesiyanın sahəsi oturacaqları cəminin yarısı (a+b2) ilə hündürlüyü (a+b) hasilinə bərabərdir.

S=a+b2(a+b)=(a+b)22 digər tərəfdən bu trapesiyanın sahəsi onu əmələ gətirən üçbucaqların sahələri cəminə bərabərdir

S=2ab2+c22=2ab+c22 Bu sahələri bərabərləşdirsək:

(a+b)22=2ab+c22⇒a2+2ab+b2=c2+2ab⇒c2=a2+b2 İsbat 4: Bu isbatı Bxaskara (1114-1185) vermişdir. Düzü bu isbatı əvvəl özüm tapdım. Sonra isə maraqlandım ki, belə sadə isbat ola bilməz ki, əvvəllər kiminsə ağlına gəlməsin. Plagiat olmasın deyə elə Bxaskaranın adı ilə də verirəm. Şəklə diqqət yetirin.

Bxaskaranın isbatı

Burada 4 eyni düzbucaqlı üçbucağın hər birinin kiçik katetini o biri üçbucağın böyük katetinə birləşdirək. Nəticədə tərəfi c olan romb alınacaq. Hər bir düzbucaqlı üçbucağın α və β bucaqlarının cəmi 90°-dir. Eyni bucaqlar da rombun təpə bucaqlarını təşkil edir. Ona görə alınan rombun da bütün dörd bucağı 90° olacaq. Deməli, xaricdə alınan dördbucaqlı tərəfi c olan kvadratdır. Daxildəki dördbucaqlı da bütün tərəfləri b−a-ya bərbər olan kvadratdır. Çünki bucaqlarının hamısı 90°-li bucağın qonşu bucaqlarıdır.

Yenə xarici kvadratın sahəsini iki cür ifadə edək.

c2=4ab2+(b−a)2=2ab+b2−2ab+a2=a2+b2 İsbat 5: Bu isbat üçbucaqların oxşarlığına əsaslanıb. Üçbucağın düz bucaq təpəsindən (A) onun hipotenuzuna AD hündürlüyü endirsək iki yeni düzbucaqlı üçbucaq alarıq. △DAC və △DBA.

Əvvəlcə △ABC və △DBA-ya baxaq. ∠ABC=∠DBA və hər ikisinin bir bucağı düz bucaqdır. Onda üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətinə görə bu üçbucaqlar oxşardır(△ABC∼△DBA).

İndi △ABC və △DAC-yə baxaq. Bu üçbacaqlarda ∠ABC⊥∠DAC. Tərəfləri perpendikulyar olan iti bucaqlar bərabər olduğu üçün ∠ABC=∠DAC. Digər tərəfdən ∠BAC=∠ADC=90°. Yenə üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətinə görə △ABC∼△DAC.

Pifaqor teoremi

Oxşar üçbucaqların tərəfləri mütənasib olduğuna görə

ABBC=BDAB⇒ac=ea⇒e=a2c Eynilə,

ACBC=CDAC=>bc=db⇒d=b2c Digər tərəfdən

c=d+e⇒c=b2c+a2c=>c2=a2+b2 Teorem isbat olundu.

Tərs Pifaqor teoremi Teorem: Əgər üçbucağın bir təfəsinin kvadratı digər iki tərəfin kvadratı cəminə bərabərdirsə bu üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır.

Tərs Pifaqor teoremi İsbatı: Tutaq ki, △ABC-də AC2=AB2+BC2. İsbat edək ki, ∠B düz bucaqdır.

Bunun üçün elə △A1B1C1 götürək ki, B1 təpəsindəki bucaq düz bucaq olsun və AB=A1B1, BC=B1C1. Onda Pifaqor teoreminə görə

A1C21=A1B21+B1C21.

Tərəflər bərabər olduğu üçün

AB2+BC2=A1B21+B1C21.

Deməli,

A1C21=AC2⇒A1C1=AC Üçbucaqların bərabərliyinin üçüncü əlamətinə görə △ABC=△A1B1C1. Yəni △ABC də düzbucaqlı üçbucaqdır.

Bu isbatdan çıxır ki, tərəfləri 3,4 və 5 olan üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır. 52=32+42. Bu üçbucaq Misir üçbucağı adlanır. Tərəfləri tam ədədlər olan düzbucaqlı üçbucaqlara Pifaqor üçbucaqlrı deyilir.