Ədədi silsilə

Ədədi silsilə — ardıcıl hədləri arasındakı fərq sabit olan ədədi ardıcıllıqdır. Başqa sözlə, ikinci həddən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki həddə eyni bir ədədin əlavə olunması ilə alınır.

Məsələn, aşağıdakı ardıcıllıqlar ədədi silsilədir:

• 2; 5; 8; 11; 14; ...
• -1; 3; 7; 11; 15; ...
• 3; 1; -1; -3; -5; ...

Tərifi

Əgər hər bir natural $n$ üçün

$a_{n+1}=a_{n}+d$

bərabərliyi ödənirsə, onda $(a_{n})$ ardıcıllığına ədədi silsilə deyilir. Burada $d$ sabit ədəd olub silsilənin fərqi adlanır:

$a_{n+1}-a_{n}=d.$

Əgər $d>0$ olarsa, ədədi silsilə artan, $d<0$ olarsa, azalan, $d=0$ olarsa, sabit ardıcıllıq olur.

Ümumi həddin düsturu

Ədədi silsilənin birinci həddi $a_{1}$, fərqi isə $d$ olarsa, onun $n$-ci həddi

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

düsturu ilə hesablanır.

Bu düstur göstərir ki, ədədi silsilənin hədləri indeksdən xətti şəkildə asılıdır.

Xassələri

Ədədi silsilənin ümumi hədd düsturundan aşağıdakı xassələr alınır:

• İstənilən $n>m$ üçün

$a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$

• İstənilən $n>m$ üçün

$d={\frac {a_{n}-a_{m}}{n-m}}.$

• Ədədi silsilədə hər bir daxili hədd ona qonşu iki həddin ədədi ortasına bərabərdir:

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},\qquad n>1.$

• Sonlu ədədi silsilədə uclardan eyni uzaqlıqda yerləşən hədlərin cəmi bərabərdir:

$a_{k}+a_{n-k+1}=a_{1}+a_{n}.$

İlk n həddin cəmi

Ədədi silsilənin ilk $n$ həddinin cəmi

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$

ilə işarə olunursa, onda

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

düsturu doğrudur.

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ olduğunu nəzərə alsaq, bu düsturu aşağıdakı şəkildə də yazmaq olar:

$S_{n}={\frac {n\left(2a_{1}+(n-1)d\right)}{2}}.$

Əgər $(2k-1)$ sayda hədd götürülərsə, onda onların cəmi orta həddin $(2k-1)$ mislinə bərabər olur:

$S_{2k-1}=(2k-1)a_{k}.$

Bu nəticə cəm düsturundan və ədədi silsilənin simmetriya xassəsindən alınır.

Nümunə

Məsələn, $2,5,8,11,14,\ldots$ ədədi silsiləsində

$a_{1}=2,\qquad d=3.$

Deməli,

$a_{n}=2+(n-1)\cdot 3=3n-1.$

Bu silsilənin ilk 5 həddinin cəmi isə

$S_{5}={\frac {5(2+14)}{2}}=40$

olar.

Həmçinin bax

• Həndəsi silsilə
• Ədədi ardıcıllıq
• Ədədi orta