Atlas (topologiya)

Vikipediya, azad ensiklopediya
Jump to navigation Jump to search

Riyaziyyatda, xüsusən də topologiyada bir atlasdan istifadə edilərək bir manifold təsvir olunur. Atlas, təxminən desək, çeşidli ayrı-ayrı bölgələri təsvir edən fərdi qrafiklərdən ibarətdir. Əgər manifold Yerin səthidirsə, onda bir atlasın daha çox ümumi mənası var. Ümumiyyətlə, Atlas anlayışı, çox yönlü və əlaqəli quruluşların, məsələn, vektor dəstələri və digər lif dəstələri kimi formal tərifin əsasını təşkil edir.

Qrafiklər[redaktə | əsas redaktə]

Bir atlasın tərifi bir qrafik anlayışına bağlıdır. Bir topoloji məkan M üçün cədvəl (koordinat cədvəli, koordinat yaması, koordinat xəritəsi və ya yerli çərçivə də deyilir) bir homeomorfluqdur U açıq bir M-dən Evklid məkanının açıq çoxluqlarlna qədərdir. Qrafik ənənəvi olaraq sifariş edilmiş cüt olaraq qeyd olunur.

Atlasın ümumi tərifi[redaktə | əsas redaktə]

Bir topoloji məkan üçün bir atlas indeksləşdirilmiş ailəsidir qrafikləru üzərində hansı ki, əhatə dairəsini təyin edir(yəni, ). Hər bir cədvəlin kodomaini n ölçülü Evklid məkanıdırsa, onda -in n ölçülü bir manifold olduğu deyilir.

Bəzi müəlliflər atlastlardan istifadə etsələr də,atlaslar çoxluğu atlaslardır[1][2].

Atlas üzərində ölçülü çoxluq hər bir cədvəlin görüntüsü olduqda, adekvat atlas adlanır, or , -in yerli məhdud altçoxluqlar ailələri örtüyüdür,hardaki, başlanğıc mərkəzində olan radius 1 açıq topdur və qapalı yarım boşluqdur. Hər ikinci sayıla bilən çoxluq adekvat bir atlas qəbul edir[3]. Üstəlik, əgər ikinci sayıla bilən manifoldun açıq örtüyüdürsə, onda orada adekvat bir atlasdır, , üzərində belə zəifliyidir[3].

Keçid xəritələri[redaktə | əsas redaktə]

Bir manifolddakı iki qrafik və müvafiq keçid xəritəsi

Bir keçid xəritəsi bir atlasın iki qrafikini müqayisə etmək üçün bir yol təqdim edir. Bu müqayisəni etmək üçün, bir cədvəlin tərkibini digərinin tərsi ilə nəzərdən keçiririk. Bu kompozisiya istisna olmaqla, yaxşı müəyyən edilməmişdir,biz hər iki cədvəlin tərif sahələrinin kəsişməsi ilə məhdudlaşırıq.(Məsələn, Avropanın bir qrafiki və Rusiyanın bir qrafiki varsa, onda bu iki qrafiki üst-üstə düşərsə müqayisə edə bilərik,yəni Rusiyanın Avropa hissəsi.)

Daha dəqiq desək, güman edək ki, belə bir manifold M üçün iki qrafikdir, isə boş çoxluqdur. Keçid xəritəsi tərəfindən təyin olunan xəritədir:

Qeyd edək ki, hər iki homeomorfluqdur, keçid xəritəsi eyni zamanda bir homeomorfluqdur.

Quruluşları[redaktə | əsas redaktə]

Biri tez-tez sadəcə topoloji quruluşdan daha çoxbir manifoldda daha çox quruluş istəyir.Məsələn, törəmə funksiyaların fərqləndirilməsi barədə birmənalı bir anlayış istəsən, keçid funksiyaları bir-birindən fərqlənən bir atlas qurmaq lazımdır. Fərqlənən bir müxtəlifliyi nəzərə alsaq, birmənalı olaraq tangent vektorlar və sonra yönlü törəmələr anlayışını təyin etmək olar.

Hər bir keçid funksiyası hamar bir xəritədirsə, onda atlas hamar atlas, manifoldun özü isə hamar adlanır. Alternativ olaraq, keçid xəritələrində yalnız k davamlı törəmələrin olmasını tələb etmək olar, bu halda atlasın olduğu deyilir.

Ümumiyyətlə, hər bir keçid funksiyası bir yalançı qrup çevrilmələrinə aiddirsə, Evklid məkanının homeomorfluqlarıdır, onda atlasa — atlas deyilir.

Bir atlasın qrafikləri arasındakı keçid xəritələri yerli trivializasiyanı qorusa, sonra atlas bir lif dəstəsinin quruluşunu təyin edir.

Həmçinin bax[redaktə | əsas redaktə]

İstinadlar[redaktə | əsas redaktə]

  1. Jost, Jürgen (11 November 2013). "Riemannian Geometry and Geometric Analysis". Springer Science & Business Media. İstifadə tarixi: 16 April 2018 – Google Books vasitəsilə.
  2. Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (9 March 2013). "Calculus of Variations II". Springer Science & Business Media. İstifadə tarixi: 16 April 2018 – Google Books vasitəsilə.
  3. 1 2 Kosinski, Antoni (2007). Differential manifolds. Mineola, N.Y: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC 853621933.

Ədəbiyyat[redaktə | əsas redaktə]

  • Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
  • Sepanski, Mark R. (2007). Compact Lie Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
  • Husemoller, D (1994), Fibre bundles, Springer, Chapter 5 "Local coordinate description of fibre bundles".

Xarici keçidlər[redaktə | əsas redaktə]

  • AtlasRouland Todd tərəfindən