e (ədəd)

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar

e ədədi və ya Eyler ədədiriyaziyyat, təbiət elmlərimühəndislikdə istifadə edilən sabit bir həqiqi ədəd, ln-nin indeksi. e ədədi dövri bir ədəddir və tam qiyməti sonlu sayda rəqəmdən istifadə edilərək yazıla bilməz. Təxmini qiyməti belədir:

\,e = 2,71828182845904523536..10.


Tarixi[redaktə]

Bu ədədi "Loqarifmlərin cədvəlinin təsviri" işinin (1614-cü il) müəllifi şotlandiyalı alim Neveranın şərəfinə "nevera" ədədi də adlandırırlar. Lakin, onun bu işi o qədər də düzgün deyildir, çünki x ədədinin loqarifmi 10^7\cdot\, \log_{ 1/e} \left (\frac{ x}{ 10^7} \right) \, \! bərabər idi.

İlk dəfə 1618-ci ildə dərc edilmiş Neperanın yuxarıda göstərilən işinin ingilis dilinə tərcüməsi məxfi saxlanılır. Çünki orada yalnız kinematikada məlum olan natural loqarifmaların cədvəli olur və burada sabit olmur.

Güman edilir ki, ingilis riyaziyyatçısı Otred cədvəlin müəllifi idi. Bu sabitə birinci Leybnits Qyuyqensu məktublarında rast gəlinir (1690 — 1691 il). O bu sabiti b hərfilə işarələyirdi.

Adlandırılma[redaktə]

e hərfindən 1727-ci ildə Eyler istifadə etməyə başladı. Müvafiq olaraq, adətən e-ni Eyler ədədi adlandırırlar. Hərçənd ki, bəzi alimlər c hərfindən istifadə etdilər, lakin e hərfi daha çox tətbiq edilirdi və indi də istifadə edilən standart işarədir.

Nəyə görə e hərfi seçilməsi dəqiq məlum deyil. Ola bilərki bu exponential ("nümunə", "səciyyəvi") sözünün e hərfilə başlandığı üçün istifadə edilir. Başqa fərziyyə ondan ibarətdir ki, a, b, cd hərfləri başqa hesablamalarda geniş istifadə olunurdu, və e birinci "boş" hərf idi.

Bərabərliklər[redaktə]

(5)-ci həllə görə 1 < x < e üçün y = 1/x hiperbolası altındakı sahə birə bərabərdir.
  • e ədədi, aşağıdakı differsial tənliklər üçün yeganə həqiqi ədəddir:
 \frac{d}{dx}e^x = e^x\, (1)
\frac{d}{dx}lg{x} =\frac{1}{x} (2)
  • e ədədin limiti aşağıdakı kimidir.
e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{n} \right)^n, (3)
  • e ədədi aşağıdakı sonsuz toplamaya bərabərdir:
e= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots (4)
  • e ədədinin inteqral tənliyi aşağıdakı kimi qurularsa onda 1 yeganə həllidir:
\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = 1 (5)

Tətbiqi[redaktə]

Faiz gəlirinin son qiyməti[redaktə]

Faiz gəlirinin son qiyməti haqqında məsələnin həllinin gedişatında isveç riyaziyyatçısı Bernulli sabiti hesabladı. O müəyyən etdi ki, əgər ilk məbləğ $1-sa və illiklərin 100 %-i yalnız ilin sonunda əlavə edilirsə, onda yekun məbləğ $2 olacaq. Məsələn bir sahibkarın 1 manat pulu var və o pulunu illik 100% gəlir verən banka yerləşdirir. Onda ilin sonunda onu 2 manat pulu olacaq. Eyni qayda ilə davam etsək və gəliri 50% götürsək onda sahibkarın (1+1/2)2=2.25 manat pulu olacaq. Gəliri 25% götürsək onda sahibkarın (1+1/4)4=2.4414... manat pulu olacaq. Hər aya (100/12) 8.33...% gəlir olduğunu nəzərə alsaq ilin sonunda (1+1/12)12=2.61 manat pul olacaq. Faizi zamana görə qısaltsaq onda hər həftə gələn faiz ilin sonunda - 2.69... manat pul, hər gün gələn faiz ilin sonunda - 2.71453... manat pul olar. Beləliklə, e sabiti illiklərin 100 %-i və faizlərin maksimal sıx kapitallaşdırılması vaxtının mümkün olan maksimal illik gəlirini ifadə edir.

Hesablamalar[redaktə]

  • "Şeytan rəqəmi" vasitəsilə vergüldən sonra üç rəqəm dəqiqliklə hesablanılır: qeyd etdiyimiz kimi 666 rəqəmini 6-4, 6-2, 6-1 (22, 21, 20) ifadələrindən alınan cavabın müvafiq ardıcılığına (245) bölmək lazımdır:
{ 666 \over 245} \approx 2,718.
  • e ədədinin yadda saxlanılması üçün başqa hesablama
\frac{ 666}{ 10 \cdot \sqrt{ 666} - 13} (0.001-dən az dəqiqliklə).
  • 0,001 dəqiqliklə e ədədinin qiymətinin alınması güman edilir \pi \cdot \cos{ \pi \over 6} . Tamamilə kobud (0,01 dəqiqliklə) yaxınlaşma aşağıdakı ifadə ilə verilir
5 \cdot \pi - 13.
  • « Boinq qaydası":
e \approx 4 \cdot \sin 0,747 0,0005 dəqiqliklə.
10^{-7} dəqiqliklə hesablamalar
 \, \, \, \, e \, \approx \, 3 - \sqrt{ \frac{ 5}{ 63}} \, \, \,
10^{-9} \to e \approx 2,7 + \frac{ 1828}{ 99990},
 4,6 \, \cdot \, 10^{-10} \, \, \to \, \, e \, \approx \, 3 - \frac{ 93}{ 94} \sqrt{ \frac{ 3}{ 37}}
  •  1/e \approx (1-\frac{1}{10^6})^{10^6} 0.000001 dəqiqliklə;
  • 19/7 qisməti e ədədini 0,004 minliyində üstələyir;
    • 87/32 qisməti e ədədini daha az 0,0005 onminliyində üstələyir;
      • 193/71 qisməti e ədədi 0,00003-də üstələyir;
        • 1264/465 qisməti e ədədini 0,000003-də üstələyir;
          • 2721/1001 qisməti e ədədini 0,0000002-də üstələyir;
            • 23225/8544 qisməti e ədədini daha az 0,00000001-də üstələyir.

Maraqlı faktlar[redaktə]

  • 2004-cü ildə Google şirkəti 2 718 281 828 dərəcədə öz gəlirini artırmağı elan edilmişdi. Bildirilmiş ədədin birinci 10 rəqəmi sözügedən riyazi sabiti təşkil edir.
  • Nəzəri hesab edilir ki, ən məhsuldar kompüterlər e ölçüsünə malik olmalıdır. Amma texniki çətinliklərə görə ikilik say sistemində olan kompüterlər yayıldı. İkilik say sistemində isə istifadə olunan ədədlər 0 və 1-dir.
  • Proqramlaşdırma dillərində e simvolunun ədədlərinin səciyyəvi yazısında 10 ardıcılı göstərilir. Bu yaradılmanın tarixi riyazi hesablamalar üçün istifadə edilən Fortran dili ilə bağlıdır.