Kvadrat tənlik

Kvadrat tənlik riyaziyyatda $ax^{2}+bx+c=0$ standart şəklinə gətirilə bilən tənliyə deyilir, harada ki $a!=0$.

Burada $a,b,c$ sabit ədədlər, $x$ isə məchuldur. $a$ birinci əmsal, $b$ ikinci əmsal, $c$ isə sərbəst hədd adlanır.

• Birinci həddin əmsalı (yəni $a$) 1-ə bərabər olan kvadrat tənlik çevrilmiş kvadrat tənlik adlanır.
• Məsələn: $ax^{2}+bx+c=0$ tənliyinin hər iki tərəfini $a$-ya bölməklə, $x^{2}+b/ax+c/a=0$ tənliyini alarıq.
• Burada $b/a=p$, $c/a=q$ işarə etməklə, onu $x^{2}+px+q=0$ şəklində yazmaq olar.
• $x^{2}+px+q=0$ tənliyinə çevrilmiş kvadrat tənlik deyilir.
• $2x^{2}-6x-8=0$ tənliyinin hər iki tərəfini 2-yə bölməklə, onunla eynigüclü olan $x^{2}-3x-4=0$ çevrilmiş kvadrat tənliyi alınar.

Viyet teoremi

Əsas məqalə: Viyet teoremi

Çevrilmiş kvadrat tənlikdə tənliyin kökləri cəmi əks işarə ilə ikinci əmsala, kökləri hasili isə sərbəst həddə bərabərdir. Viyet teoreminin tərsi-Tərs Teorem:m və n ədədlərinin cəmi p-yə hasili isə q-ya bərabər olarsa, bu ədədlər x²+px+q=0 tənliyinin kökləridir.

İsbat: Tənlikdə x=m yazsaq, m²-(m+n)×m+mn=m²-m²-mn+mn=0 olduğunu alarıq, yəni m ədədi tənliyi ödəyəndir. x=n ədədinin də tənliyin kökü olduğunu eyni qayda ilə göstərmək olar.

Həqiqi əmsallı kvadrat tənlik

Diskriminant nəyi bildirir

$a,~b,~c$ həqiqi əmsallı kvadrat tənliyinin $D={b}^{2}-4ac$ diskriminantının qiymətindən asılı olaraq 1 ya 2 kökü ola bilər, ya da kökü olmaz. Diskriminant 0dan böyükdürsə demək tənliyin 2 həqiqi kökü var, əgər diskriminant 0dan kiçikdirsə demək tənliyin həqiqi kökü yoxdur.

İsbatı:

ax²+bx+c=0 (:a) bölürük

x²+(b/a)*x+c:a=0

(x+b/2a)²-b²:4a²+c:a=0

(x+b:2a)²=b²:4a²-c:a

(x+b:2a)²=b²-4ac/4a²

(x+b:2a)²=D:4a²

(x+b:2a)²=±√D:4a²

x=-b:2a±√D:2a=-b±√D:2a

D=b²-4ac

• $D>0$ olduqda tənliyin 2 müxtəlif kökü var və aşağıdakı kimi hesablanır:

  $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};$       (1)

• $D=0$ olduqda tənliyin 2 bərabər kökü var və aşağıdakı kimi hesablanır:

  $x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}};$

• $D<0$ olduqda isə tənliyin həqiqi kökü yöxdur.
• Bu halda tənliyin 2 kompleks kökü var və ya (1), yaxud

  $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}$

düsturu ilə hesablanır.