Qeyri-səlis çoxluq

Qeyri-səlis çoxluq (və ya əlamətsiz çoxluq) anlayışı, çoxluq anlayışının element olmanın qiymətləndirilməsinə söykənən ümumiləşdirmədir. Qeyri-səlis çoxluq əlamətsiz məntiqin təbii bir ümumiləşməsi olaraq 1965-ci ildə Lütfi Zadə tərəfindən isbat edilmişdir. Bir obyekt bir çoxluğun ya elementi ya da elementi olmadığı halda, bir qeyri-səlis çoxluğun müəyyən bir nisbətdə qismən elementi ola bilər.

Təsvir

$X$ sıfırdan fərqli bir universal çoxluq olaraq seçilsin. Bir $A:X\to [0,1]$ funksiyasına $X$ üzərində bir qeyri-səlis çoxluq adı verilir.

Qeyri-səlis çoxluq müxtəlif cür də göstərilə bilər ancaq çoxluğun hər nöqtə üçün $[0,1]$ aralığında (qapalı) bir qiymət alması baxımından bu təsvirlərin hamısı bir-birinə bərabərdir..

Bir $x$∈$X$ elementi üçün $A(x)$ qiymətinə $x$-in A-dakı elementlik dərəcəsi deyilir. Bu qiymət kimi zaman $\mu _{A}(x)$ ilə də göstərilir. $A(x)=1$ olması klassik çoxluq anlayışında $x$ -in $A$-nın elementi olması, $A(x)=0$ olması isə klassik çoxluqlarda $x$ -in $A$-nın elementi olmaması mənasına gəlir.

Əgər $x$ üçün $A(x)=\alpha$ isə $x$∈^α$A$ yazılır və $x$-in $A$ qeyri-səlis çoxluğunun $\alpha$ dərəcəsində elementi olduğu deyilir.

Məsələn $A(x)=0,5$ yəni, $x$∈^0,5$A$ olması $x$-in $A$-nın yarı-yarıya elementi olması şəklində göstərilir. ∈¹ klassik ∈, ∈⁰ klassik ∉ simvoluna qarşılıq gəlir.

Qeyri-səlis alt çoxluq

$A$ və $B$ boş olmayan bir $X$ çoxluğu üzərində iki qeyri-səlis çoxluq olsun. Hər $x\in X$ üçün $A(x)\leq B(x)$ olursa $A\subseteq B$ və ya $A\leq B$ yazılır və $A$-nın $B$ -nin bir qeyri-səlis alt çoxluğu olduğu deyilir. $A$ və $B$ qeyri-səlis çoxluğun bərabərliyi, hər $x$ ∈ $X$ üçün $A(x)=B(x)$ olması ilə göstərilir. Buna görə $A$-nın $B$yə bərabər olması eyni zamanda həm $A\subseteq B$ həm də $B\subseteq A$ olması deməkdir.

$X$ üzərindəki bütün qeyri-səlis çoxluğu hər $x$∈$X$ üçün $X(x)=1$ ilə göstərilən $X$ qeyri-səlis alt çoxluğu ikən, hər $x$∈$X$ üçün $\varnothing (x)=0$ ilə göstərilən $\varnothing$ qeyri-səlis çoxluğu $X$dəki bütün qeyri-səlis çoxluğun alt çoxluğudur. Bəzən $X$ və $\varnothing$ simvolları yerinə sırasıyla $1_{X}$ və $0_{X}$ və ya qısaca $1$ və $0$ istifadə edilir.

Qeyri-səlis çoxluq üzərində əməliyyatlar

Çoxluqlar üçün qəbul edilən birləşmə, kəsişmə, karteziyan vurması kimi əməliyyatların hamısı qeyri-səlis çoxluğada şamil edilir. İki bulanık kümenin birleşimi $A\cup B$ veya $A\lor B$ ile gösterilir ve bu kümeye eleman olma dərəcəsi hər $x$∈$X$ için $(A\cup B)(x)=maks\{A(x),B(x)\}$ olarak tanımlanır.

İki qeyri-səlis çoxluğun birləşməsi $A\cup B$ və ya $A\lor B$ ilə göstərilir ve bu çoxluğa element olma dərəcəsi hər $x$∈$X$ üçün $(A\cup B)(x)=maks\{A(x),B(x)\}$ olaraq göstərilir.

İki qeyri-səlis çoxluğun kəsişməsi isə $A\cap B$ və ya $A\land B$ ilə göstərilir və bu çoxluğa element olma dərəcəsi hər $x$∈$X$ üçün $(A\cap B)(x)=min\{A(x),B(x)\}$ olaraq göstərilir.

$A$ və $B$ sırasıyla $X$ və $Y$ çoxluğu üzərində qeyri-səlis çoxluqlar isə $A\times B$ də $X\times Y$ üzərində bir qeyri-səlis çoxluqdur və hər $(x,y)\in X\times Y$ üçün $(A\times B)(x,y)=min\{A(x),B(y)\}$ şəklində göstərilir.

İki çoxluq üçün göstərilən bu əməliyyatlar maksimum və minimum yerinə sırasıyla supremum və infimum alınaraq hər hansı sayıdakı qeyri-səlis çoxluq ailəsinə genişləndirilə bilər.

Həmçinin bax

• Qeyri-səlis məntiq
• Çoxluq