Silinən məzmun Əlavə edilmiş məzmun
Sətir 43:
Sətir 43:
[[Şəkil:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|miniatur|thumb|200px|right|[[Qotfrid Leybnits]]]]
[[Şəkil:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|miniatur|thumb|200px|right|[[Qotfrid Leybnits]]]]
[[Şəkil:Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|miniatur|thumb|200px|right|Ser [[İsaak Nyuton]]]]
[[Şəkil:Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|miniatur|thumb|200px|right|Ser [[İsaak Nyuton]]]]
:<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math>
:<math>\int \sin{x}\, dx = \cos{x} + C</math>
:<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math>
:<math>\int \cos{x}\, dx =- \sin{x} + C</math>
:<math>\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C</math>
:<math>\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C</math>
:<math>\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C</math>
:<math>\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C</math>
07:06, 28 aprel 2019 tarixindəki versiya
f(x)-in a dan b'yə qədər olan inteqralı, y=f(x) funksiyasının a ilə b arasındakı fiqurun sahәsinә bәrabәrdir.
İnteqral - kəsilməz f(x) funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi şəklinə f(x) funksiyasının inteqralı deyilir.
Tarixi
İnteqral sahəsində ən böyük işləri Qotfrid Leybnits və İsaak Nyuton görmüşlər. "İnteqral" sözünü və işarəsini ilk dəfə elmə alman alimi Qotfrid Leybnits daxil etmişdir. Bu söz latıncadan "Cəm" ("ſumma", "summa") mənasını verir. İnteqral ∫ hərfi ilə işarə edilir:
F
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
+
c
,
{\displaystyle F(x)=\int f(x)+c,}
[a, b] parçasında götürülmüş f(x) funksiyasının müəyyən inteqralın düsturu belədir:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}
Qeyri-müəyyən inteqralın isə düsturu belədir:
F
=
∫
f
(
x
)
d
x
.
a
→
¯
ˇ
¨
{\displaystyle F=\int f(x)\,dx.{\ddot {\check {\bar {\vec {a}}}}}}
İnteqral hesabına aid nümunə
f
(
x
)
=
5
x
2
+
9
x
+
15
{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}
.
f
′
(
x
)
=
10
x
+
9
+
0
{\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}
.
∫
(
10
x
+
9
)
d
x
=
5
x
2
+
9
x
+
C
{\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}
.
Bəsit funksiyaların inteqralları
Rasional funksiyalar
∫
d
x
=
x
+
C
{\displaystyle \int dx=x+C}
∫
d
x
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C}
∫
d
x
a
2
+
x
2
=
1
a
arctan
x
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C}
İrrasional funksiyalar
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
arcsin
x
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C}
∫
−
d
x
a
2
−
x
2
=
arccos
x
a
+
C
{\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C}
∫
d
x
x
x
2
−
a
2
=
1
a
sec
|
x
|
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec {|x| \over a}+C}
Loqarifmik funksiyalar
∫
ln
(
x
)
d
x
=
x
ln
(
x
)
−
x
+
C
,
{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C,}
∫
log
b
x
d
x
=
x
log
b
x
−
x
log
b
e
+
C
{\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}
Üstlü funksiyalar
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}
∫
a
l
n
(
x
)
d
x
=
∫
x
l
n
(
a
)
d
x
=
x
a
l
n
(
x
)
ln
a
+
1
+
C
=
x
x
l
n
(
a
)
ln
a
+
1
+
C
{\displaystyle \int a^{ln(x)}\,dx=\int x^{ln(a)}\,dx={\frac {x\,a^{ln(x)}}{\ln {a}+1}}+C={\frac {x\,x^{ln(a)}}{\ln {a}+1}}+C}
Triqonometrik funksiyalar
Qotfrid Leybnits
Ser İsaak Nyuton
∫
sin
x
d
x
=
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=\cos {x}+C}
∫
cos
x
d
x
=
−
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=-\sin {x}+C}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
∫
csc
x
d
x
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}
∫
sin
2
x
d
x
=
1
2
(
x
−
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}
∫
cos
2
x
d
x
=
1
2
(
x
+
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}
∫
sec
3
x
d
x
=
1
2
sec
x
tan
x
+
1
2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C}
∫
sin
n
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}
Hiperbolik funksiyalar
∫
sinh
x
d
x
=
c
o
s
h
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh x\,dx=\,coshx+C}
∫
cosh
x
d
x
=
sinh
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}
∫
tanh
x
d
x
=
ln
|
cosh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C}
∫
csch
x
d
x
=
ln
|
tanh
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}
∫
sech
x
d
x
=
arctan
(
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C}
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
sinh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C}
∫
sech
2
x
d
x
=
tanh
x
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C}
Tərs hiperbolik funksiyalar
∫
arcsinh
x
d
x
=
x
arcsinh
x
−
x
2
+
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}
∫
arccosh
x
d
x
=
x
arccosh
x
−
x
2
−
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}
∫
arctanh
x
d
x
=
x
arctanh
x
+
1
2
log
(
1
−
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C}
∫
arccsch
x
d
x
=
x
arccsch
x
+
log
[
x
(
1
+
1
x
2
+
1
)
]
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C}
∫
arcsech
x
d
x
=
x
arcsech
x
−
arctan
(
x
x
−
1
1
−
x
1
+
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C}
∫
arccoth
x
d
x
=
x
arccoth
x
+
1
2
log
(
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C}
Xarici keçidlər