Eyler düsturu

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar
Eyler düsturunun həndəsi mənası

Eyler düsturu Leonard Eyler tərəfindən daxil edilmiş və onun şərəfinə adlandırılmış, kompleks eksponenti triqonometrik funksiyalarla əlaqələndirən düstur.

Eyler düsturu iddia edir ki, istənilən həqiqi ədəd x üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

~e^{ ix} =\cos x+i\sin x,

burada enatural loqarifmanın əsası,

i — xəyali vahid.

Tarix[redaktə]

Eyler düsturu ilk dəfə ingilis riyaziyyatçısı Kotsa Rocerin (Nyutonun köməkçisi) "Ölçülərin harmoniyası" kitabında bildirmişdi. Sözügedən kitab müəllifin ölümündən sonra - 1722-ci ildə dərc edilmişdi. Kots təxminən 1714-cü ildə düsturu açdı və loqarifma formasında onu ifadə etdi:

~\ln (\cos x+i\sin x) =i x.

Eyler 1740-cı ildə öz məqaləsində düsturu qeyd edilmiş formada dərc etdi və "Sonsuz kiçiklərin analizinə daxil edilmə" kitabında (1748), təmkinli bir sıra ilə sağ və sol hissələrə sonsuz ayırma üsulu ilə düsturu isbat etdi. Nə Eyler, nə də Kots düsturun həndəsi mənasını təsəvvür etmirdi: kompleks səthdə nöqtələr kimi kompleks ədədlərin də təsviri təxminən 50 il sonra Vessel Qasparda tərəfindən isbat olundu.

Törəmə düsturlar[redaktə]

Eyler düsturunun köməyi ilə \sin\cos funksiyaları aşağıdakı qaydada təyin etmək olar:

\sin x=\frac{ e^{ ix} -e^{ -ix}}{ 2i} ,
\cos x=\frac{ e^{ ix} +e^{ -ix}}{ 2} .

Sonra triqonometrik funksiyalara kompleks dəyişən daxil etmək olar. Tutaq ki, x=iy, onda:

\sin iy=\frac{ e^{ -y} -e^y}{ 2i} =i\mathop{ \mathrm{ sh}} \, y,
\cos iy=\frac{ e^{ -y} +e^y}{ 2} =\mathop{ \mathrm{ ch}} \, y.

Beş fundamental riyazi sabiti birləşdirən məşhur Eyler eyniliyi:

e^{ i\pi} +1=0
x=\pi Eyler eyniliyinin təsadüfi hissəsidir.