Bernoulli diferensial tənliyi

Vikipediya, azad ensiklopediya
Jump to navigation Jump to search

Riyaziyyatda, formasında yazılan adi diferensial tənliyə Bernoulli diferensial tənliyi deyilir.

Burada , 0 və ya 1-dən başqa hər hansı bir real sayıdır. [1] 1695-ci ildə bunu müzakirə edən Yakob Bernulli adını daşıyır. Bernoulli tənlikləri özəl tənliklərdir, çünki məlum dəqiq həlləri olan xətti olmayan diferensial tənliklərdir. Bernoulli tənliyinin məşhur bir özəl hali logistik differensial tənliyidir .

Xətti diferensial tənliyə çevrilmə[redaktə | əsas redaktə]

olduğu hal üçün diferensial tənlik xəttidir. olarsa ayrıla bilər haldadır. Bu hallarda, bu formaların tənliklərini həll etmək üçün standart üsullar tətbiq edilə bilər. olduqda yerləşdirilirsə hər hansı bir Bernoulli tənliyini xətti diferensial tənliyə endirilir. Məsələn, də, yerləşdirilirsə, diferensial tənliyindən xətti diferensial tənliyi d əldə edilir.

Həll[redaktə | əsas redaktə]

Qoy

xətti diferensial tənliyin bir həlli olsun

Onda bizdə var ki aşağıdakının bir həllidir

Və bütün fərqli diferensial tənliklər üçün, bütün üçün bizdə var ki üçün həllidir.

Nümunə[redaktə | əsas redaktə]

Bernoulli tənliyini nəzərdən keçirək

(bu vəziyyətdə daha konkret olaraq Riccati tənliyi ). sabit funksiyası bir həlldir. bölünməsiylə

Dəyişən dəyişənlər aşağıdakı tənlikləri verir

inteqrasiya amili istifadə edərək həll edilə bilər

İlə çarparaq ,

Sol tərəf törəməsidir. Hər iki tərəfi 'e görə inteqrasiya etmək aşağıdakılara səbəb olur

üçün həll

dır.

İstinadlar[redaktə | əsas redaktə]

  • Bernulli, Yakob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum
  • Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0
  1. Weisstein, Eric W. "Bernoulli Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [daha güvənilən mənbəyə ehtiyac var]