Censen bərabərsizliyi

Censenin bərabərsizliyi qabarıq funksiyanın sekant xəttinin onun qrafikinin üstündə olması fikrini ümumiləşdirir.

Qabarıqlığın və Censen bərabərsizliyinin vizuallaşdırılması

Riyaziyyatda Danimarka riyaziyyatçısı Yohan Censenin adını daşıyan Censen bərabərsizliyi inteqralın qabarıq funksiyasının qiymətini qabarıq funksiyanın inteqralına aid edir. O, 1906-cı ildə Censen tərəfindən 1889-cu ildə Otto Hölder tərəfindən ikiqat diferensiallana bilən funksiyalar üçün eyni bərabərsizliyin əvvəlki sübutuna əsaslanaraq sübut edilmişdir Ümumiliyini nəzərə alaraq, bərabərsizlik bir çox formalarda baş verir, onlardan bəziləri kontekstdən asılı olaraq aşağıda təqdim olunur. Ən sadə formada bərabərsizlik ortanın qabarıq çevrilməsinin qabarıq çevrilmədən sonra tətbiq edilən ortadan kiçik və ya ona bərabər olduğunu bildirir; Konkav çevrilmələr üçün bunun əksinin doğru olması sadə bir nəticədir..

Censen bərabərsizliyi qabarıq funksiyanın sekant xəttinin funksiyanın qrafikindən yuxarıda olması fikrini ümumiləşdirir ki, bu da iki nöqtə üçün Censen bərabərsizliyidir: sekant xətti qabarıq funksiyanın çəkili vasitələrindən ibarətdir ( t üçün) ∈ [0,1]),

$f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).$

funksiyanın qrafiki çəkili vasitələrin qabarıq funksiyası olduğu halda,

$tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}),$

Beləliklə, Censen bərabərsizliyi:

$f(tx_{1}+(1-t)x_{2}).$

Ehtimal nəzəriyyəsi kontekstində ümumiyyətlə aşağıdakı formada ifadə edilir: əgər X təsadüfi dəyişəndirsə və φ

qabarıq funksiyadırsa, onda

$\varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].$

Bərabərsizliyin iki tərəfi arasındakı fərq, $\operatorname {E} \left[\varphi (X)\right]-\varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)$, Censen boşluğu adlanır.

İstinadlar

• David Chandler. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. 1987. ISBN 0-19-504277-8.
• Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
• Nicola Fusco; Paolo Marcellini; Carlo Sbordone. Analisi Matematica Due. Liguori. 1996. ISBN 978-88-207-2675-1.
• Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1.
• Rick Durrett. Probability: Theory and Examples (5th). Cambridge University Press. 2019. 430. ISBN 978-1108473682. İstifadə tarixi: 21 Dec 2020.
• Sam Savage (2012) The Flaw of Averages: Why We Underestimate Risk in the Face of Uncertainty (1st ed.) Wiley. ISBN 978-0471381976