Evklid Məsafəsi

Pifaqor teoremindən istifadə etməklə ikiölçülü Evklid məsafəsinin hesablanması

Evklid məsafəsi Evklid fəzasında iki nöqtə arasındaki parçanın uzunluğudur. Evklid məsafəsi Pifaqor teoremindən istifadə edərək nöqtələrin Karteziyan koordinatları vasitəsilə hesablana bilər, buna görə bəzən bu məsafə həm də Pifaqor məsafəsi adlandırırlar. Bu adlar qədim yunan riyaziyyatçıları Evklid və Pifaqorla əlaqəlidir, baxmayaraq ki, Evklid məsafələri ədədlər olaraq təmsil etmirdi və Pifaqor teoremindən istifadə edilərək məsafənin hesablanmasına bağlantı 18-ci əsrə qədər qurulmamışdı.

Nöqtə olmayan iki obyekt arasındakı məsafə, adətən iki obyekt arasındakı nöqtə cütləri arasındakı ən kiçik məsafə olaraq təyin olunur. Bir nöqtədən bir xəttə olan məsafə kimi, müxtəlif növ obyektlər arasındakı məsafələrin hesablanması üçün düsturlar mövcuddur. Müasir riyaziyyatda məsafə anlayışı mücərrəd metrik fəzalara qədər ümumiləşdirilmiş və Evklid məsafəsindən başqa digər məsafələr tədqiq edilmişdir. Statistikada və optimallaşdırmadaki bəzi tətbiqlərdə məsafənin özü yerinə Evklid məsafəsinin kvadratı istifadə olunur.

Məsafə formulları

Birölçülü

Həqiqi ədəd oxu üzərindəki istənilən iki nöqtə arasındaki məsafə həmin nöqtələrin koordinatlarının ədədi fərqinin mütləq qiymətinə bərabərdir. Belə ki, əgər $p$ və $q$ həqiqi ədəd oxu üzərindəki iki nöqtədirsə,  onda bu nöqtələr arasındaki məsafə bu şəkildə verilir:

$$d(p,q)=|p-q|.$$

Eyni qiyməti verən, lakin daha yüksək ölçülərə daha asanlıqla ümumiləşdirilə bilən daha mürəkkəb bir düstur:

$$d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.$$

Bu formulda ifadəni kvadrata yüksəltmək və sonra kvadrat kökü almaq müsbət ədədi dəyişmir, lakin hər hansı mənfi ədədi mütləq qiymətiilə əvəz edir.

İkiölçülü

Əgər Evklid müstəvisindəki $p$ və $q$ nöqtələrinin uyğun olaraq $(p_{1},p_{2})$ və $(q_{1},q_{2})$ karteziyan koordinatlarıdırsa, onda $p$ və $q$ nöqtələri arasındaki Evklid məsafəsi aşağıdaki kimi ifadə edilir:

$$d(p,q)={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}}}.$$

Bu ifadəni Pifaqor teoremini hipetenuzu $p$-dən $q$-yə parça olan düzbucaqlı üçbucağa tətbiq etməklə almaq olar, bu halda katetlər həmin nöqtələrin $x$ və $y$ koordinatları fərqinin mütləq qiyməti olacaq. Kvadrat kökün içindəki iki kvadrat formul üfüqi və şaquli katetlərin kvadratların sahələrini verir və kvadrat kök hipotenuzdakı kvadratın sahəsini hipotenuzun uzunluğuna çevirir.

Qütb koordinatları ilə verilən nöqtələr üçün məsafəni hesablamaq da mümkündür. $p$ və $q$ nöqtəsinin qütb koordinat sistemində uyğun olaraq kordinatları $(r,\theta )$ və $(s,\psi )$-dırsa, onda həmin nöqtələr arasındaki məsafə kosinuslar teoremi ilə aşağıdaki kimi tapılır:

$$d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.$$

$p$ və $q$ kompleks müstəvidə kompleks ədədlər şəklində ifadə edildikdə, həqiqi ədədlərlə ifadə olunan nöqtələr üçün birölçülü məsafə düsturdan istifadə edilə bilər:

$$d(p,q)=|p-q|.$$

Yüksəkölçülü

Pifaqor teoremini dəfələrlə tətbiq etməklə $n$ ölçülü Eklid məsafəsi düsturunun çıxarılması

Karteziyan koordinatlarla verilmiş üçölçülü fəzadaə iki nöqtə arasındaki Evklid məsafəsi aşağıdaki formul vasitəsi ilə tapılır:

$$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.$$

Ümumiyyətlə, karteziyan kordinatlar vasitəsilə $n$ ölçülü Evklid fəzasında verilən nöqtələr üçün məsafə formulu aşağıdaki kimidir:

$$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.$$