Natural ədədlər

Natural ədədlər — sayma və sıralama üçün istifadə olunan ədədlərə deyilir. Natural ədələr çoxluğu $\mathbb {N}$ simvolu ilə ifadə olunur, $\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$ . Bəzi ədəbiyyatda, adətən natural ədədlərin Çoxluqlar Nəzəriyyəsindən tərifində $0$ da natural ədəd hesab olunur. Natural Ədədlər sayma üçün istifadə edildikdə kardinal ədədlər, sıralama üçün istifadə edildikdə ordinal ədədlər adlandırılır.

Natural Ədədlərin Tərifi

Natural ədədlər Peano aksiomları ilə aşağıdakı qaydada tərif edilir:

$1\in \mathbb {N}$ . $1$ natural ədəddir.
$s:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} .\forall n\in \mathbb {N} {\Big (}s(n)\in \mathbb {N} {\Big )}.$ Hər bir natural ədədin ardıcılı natural ədəddir (burada $s(n)$ ardıcıllıq funksiyasıdır).
$\forall n\in \mathbb {N} {\Big (}1\neq s(n){\Big )}.$ 1 heç bir natural ədədin ardıcılı deyil.
$\forall n\in \mathbb {N} \forall m\in \mathbb {N} {\Big (}s(n)=s(m)\implies n=m{\Big )}.$ Əgər iki natural ədədin ardıcılı bərabərdirsə, bu natural ədədlər bərabərdir. Digər sözlə, (1-dən fərqli) hər bir natural ədəd yalnız bir natural ədədin ardıcılıdır. $s$ funksiyası inyektiv funksiyadır.
$\forall P{\Big (}{\Big [}P(1)\land \forall k\in \mathbb {N} {\big [}P(k)\implies P(s(k)){\big ]}{\Big ]}\implies \forall n\in \mathbb {N} (P(n)){\Big )}.$ Hər hansı bir ifadə, teorem, düstur və s. (a) 1 üçün doğrudur və (b) $k$ üçün doğru olduqda $s(k)$ üçün də doğrudur, şərtlərini ödəyir. Bu halda, ifadə bütün natural ədədlər üçün doğrudur. (Riyazi İnduksiya)

Cəm

$s(n)=n+1$ ,
$n+s(m)=s(n+m)$ . (və ya $n+(m+1)=(n+m)+1$ )

Hasil

$n\times 1=n$ ,
$n\times (m+1)=nm+n$ .

Ardıcıllıq

$\forall a\in \mathbb {N} \forall b\in \mathbb {N} {\Big [}\exists n\in \mathbb {N} (a+n=b)\implies a<b{\Big ]}.$ Hər hansı bir $a$ və $b$ natural ədədləri üçün $a+n=b$ şərtini ödəyən $n$ natural ədədi varsa, $a<b$ .

$a<b\implies b>a.$
$(a<b\lor a=b)\implies a\leq b$ .
$a\leq b\implies b\geq a$ .

Tək və cüt ədədlər

Cüt ədədlər — sonu 0, 2, 4, 6 və 8 rəqəmlərindən biri ilə qurtaran natural ədədlərə cüt ədədlər deyilir.

Tək ədədlər — sonu 1, 3, 5, 7 və 9 rəqəmlərindən biri ilə qurtaran natural ədədlər tək ədədlər deyilir.

Natural ədədlər cədvəli

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
100	101	102	103	104	105	106	107	108	109
110	111	112	113	114	115	116	117	118	119
120	121	122	123	124	125	126	127	128	129
130	131	132	133	134	135	136	137	138	139
140	141	142	143	144	145	146	147	148	149
150	151	152	153	154	155	156	157	158	159
160	161	162	163	164	165	166	167	168	169
170	171	172	173	174	175	176	177	178	179
180	181	182	183	184	185	186	187	188	189
190	191	192	193	194	195	196	197	198	199
200	201	202	203	204	205	206	207	208	209
	210	220	230	240	250	260	270	280	290
			300	400	500	600	700	800	900
	1000	2000	3000	4000	5000	6000	7000	8000	9000
	10000	20000	30000	40000	50000	60000	70000	80000	90000
100000		1000000		10000000			100000000
1000000000		10000000000			100000000000			1000000000000

Ədədin bölənləri və bölünənləri

Ədədin böləni

n- natural ədədinin bölündüyü hər bir natural ədəd n- böləni adlanır.

Məsələn: 12 — nin bölənləri —> 1,2,3,4,6,12

Ədədin bölünəni

n-natural ədədinə qalıqsız bölünən hər bir natural ədəd n- in bölünəni adlanır.

Bölünmə əlamətləri

Sonu "0" yaxud cüt rəqəmlə qurtaran natural ədədlər 2-yə qalıqsız bölünür.
Rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünən natural ədədlər 3-ə qalıqsız bölünür.
Natural ədədin son iki rəqəmi sıfırdırsa, və ya son iki rəqəminin əmələ gətirdiyi ədəd 4-ə bölünürsə, bu ədəd 4-ə qalıqsız bölünür.
Sonu "0"- la yaxud "5"-lə qurtaran natural ədədlər 5-ə qalıqsız bölünür.
Eyni zamanda 2-yə və 3-ə bölünən natural ədədlər 6-ya qalıqsız bölünür.
Natural ədədin son üç rəqəmi sıfırdırsa, və ya son üç rəqəminin əmələ gətirdiyi ədəd 8-ə bölünürsə, bu ədəd 8-ə qalıqsız bölünür.
Rəqəmləri cəmi 9-a bölünən natural ədədlər 9-a qalıqsız bölünür.
Sonu "0"-la qurtaran bütün natural ədədlər 10-a qalıqsız bölünür.
Eyni zamanda 2-ə və 3-ə bölünən (6-a bölünən) natural ədədlər 12-ə bölünür.
Eyni zamanda 3-ə və 5-ə bölünən ədədlər 15-ə bölünür.
Son iki rəqəmi 25, 50, 75 və 00 olan ədədlər 25-ə bölünür.

Sadə və mürəkkəb ədədlər

Yalnız 1-ə və özünə bölünən ədədlərə sadə ədədlər deyilir.

Məsələn: 2;3;5;7;11;13;17;19…

İkidən çox böləni olan ədədlərə mürəkkəb ədədlər deyilir.

Məsələn: 4;6;8;9;10;12;14;16 və s. 2-dən başqa bütün cüt ədədlər mürəkkəb hesab olunur.

1 nə sadə, nə də mürəkkəb ədəddir.

Mürəkkəb ədədin sadə vuruqların hasili şəklində göstərilməsi sadə vuruqlara ayırma adlanır.

Məsələn: 120=2×2×2×3×5 və ya 120=2³×3¹×5¹

Qarşılıqlı sadə ədədlər

Ortaq sadə vuruqları olmayan ədədlərə qarşılıqlı sadə ədədlər deyilir.

Ardıcıl iki natural ədədlər qarşılıqlı sadədir.
Ardıcıl iki tək natural ədəd qarşılıqlı sadədir.
1 istənilən ədədlə qarşılıqlı sadədir.

Ən böyük ortaq bölən (ƏBOB) və ən kiçik ortaq bölünən (ƏKOB)

a və b natural ədədlərinin hər ikisinin bölündüyü ən böyük natural ədədə a və b-nin ən böyük ortaq böləni deyilir və ƏBOB (a;b) kimi işarə olunur.

ƏBOB (a;b)-ni tapmaq üçün:

a və b sadə vuruqlarına ayrılıb qüvvət kimi göstərilir.
Ortaq vuruqlardan qüvvəti kiçik olanlar seçilir.
Onların hasili tapılır.

a və b natural ədədlərinin hər ikisinə bölünən ən kiçik natural ədədə a və b-nin ən kiçik ortaq bölünəni deyilir və ƏKOB(a;b) kimi işarə olunur.

ƏKOB və ƏBOB-a aid əsas düsdurlar

ƏBOB(a;b)•ƏKOB(a;b)=ab

ƏKOB (a;b)-ni tapmaq üçün

a və b sadə vuruqlarına ayrılıb qüvvət kimi göstərilir.
Bütün sadə vuruqlardan qüvvəti böyük olanlar seçilir.
Onların hasili tapılır.

Ədəbiyyat

Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.