Parabola

Parabola, onun fokus məsafəsi və direktrisası

Kəsik konus:
Eksentrisitet:	$~\textstyle e=1$
Bərabərlik:	$~\textstyle y^{2}=2px$
Hiperbola · Parabola · Ellips · Çevrə

Parabola (yun. παραβολή, tətbiq) — kvadratik funksiyanın (y = x²) qrafikinə verilən addır. Parabola Hiperbolanın tərsidir. Parabola dedikdə müstəvinin elə nöqtələrinin həndəsi yeri başa düşülür ki, bu nöqtələrin müstəvinin verilmiş düz xəttindən və verilmiş nöqtəsində olan məsafələri bir-birinə bərabər olsun. Müstəvinin verilmiş bu düz xəttinə parabolanın direktirisi, verilmiş nöqtəsinə isə parabolanın fokusu deyilir. Parabolanın fokusunu adətən $F$ ilə işarə edirlər.

Bərabərlik[redaktə | əsas redaktə]

Düzxətli koordinat sistemi üzərində Parabolanın kanonik şəkli aşağıdakı kimidir:

~\textstyle y^{2}=2px,p>0

(или

~\textstyle x^{2}=2py

, əgər uc nöqtələrinin yernini dəyişdirsək).

Nəticə

Direktrisanın bərabərliyi: $~PQ$ : $~\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ , fokus — $~\textstyle F\left({\frac {p}{2}};0\right)$ , buna əsasən koordinat başlanğıcı: $~O$ — mərkəzin kəsiyi $~CF$ . Parabolanın $~M$ üçün tapılmış müxtəlif nöqtəsində, üzərində yerləşən bərabərlik alınır: $~KM=FM$ . $~\textstyle KM=KD+DM={\frac {p}{2}}+x$ və $~\textstyle FM={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}$ , onda bərabərlik aşğıdakı görünüşünü alır:

~{\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x

.

Bərabərliyi müxtəlif cür hesabladıqdan sonra eynigüclü bərabərlik alınır: $~y^{2}=2px$ .

Kvadrat tənlik: $~y=ax^{2}+bx+c$ при $~a\neq 0$ həmçinin, parabolanın и qrafikini əks etdirir, bu düstur kimi: $~y=ax^{2}$ , ancaq birinci bərabərlik ikinci bərabərlikdən ona görə fərqlənir ki, birinci bərabərliyin başlanğıcı koordinat başlanğıcı üzərində deyildir. $~A$ -nın müxtəlif nöqtələri üçün koordinat aşağıdakı düsturla hesablanır:

~x_{A}=-{\frac {b}{2a}},\;y_{A}=-{\frac {D}{4a}},

haradakı:

D=b^{2}-4ac

— Diskriminant.

Həmçinin: $~y=ax^{2}+bx+c$ kvadratik tənliyi $~y=a(x-x_{A})^{2}+y_{A}$ bu şəkildə də göstərilə bilər. Əgər $~A$ nöqtəsi koordinat siteminin başlanğıcı üzərində olarsa kanonik şəkildə göstərilə bilər. Bu zaman: $p={\frac {1}{|2a|}}$ ifadəsi meydana çıxır.

Kvadrat tənliyinin əmsallarının hesablanması[redaktə | əsas redaktə]

Əgər $~y=ax^{2}+bx+c$ tənliyi üçün tapılmış üç nöqtə üçün $~(x_{1};y_{1})$ , $~(x_{2};y_{2})$ , $~(x_{3};y_{3})$ ifadələr alınarsa, onda kvadrat tənliyinin əmsallarını aşağıdakı kimi hesablamaq olar:

$~a={\frac {y_{3}-{\frac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}$

Digər bərabərliklər[redaktə | əsas redaktə]

Şaquli simmetriyanın ucları[redaktə | əsas redaktə]

(x-h)^{2}=4p(y-k)\,

y={\frac {(x-h)^{2}}{4p}}+k\,

y=ax^{2}+bx+c\,

haradakı:

a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k;\ \

h={\frac {-b}{2a}};\ \ k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

.

Parametrik forması:

x(t)=2pt+h;\ \ y(t)=pt^{2}+k\,

Üfüqi simmetriyanın ucları[redaktə | əsas redaktə]

(y-k)^{2}=4p(x-h)\,

x={\frac {(y-k)^{2}}{4p}}+h;\ \,

x=ay^{2}+by+c\,

haradakı:

a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;\ \

h={\frac {4ac-b^{2}}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}

.

Parametrik forması:

x(t)=pt^{2}+h;\ \ y(t)=2pt+k\,

Baş parabola[redaktə | əsas redaktə]

Parabola üçün ümumi düstur aşağıdakı kimidir:

(\alpha x+\beta y)^{2}+\gamma x+\delta y+\epsilon =0\,

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,

və aşağıdakı kimi ifadə üçün doğrudur,

B^{2}=4AC\,

.

Baş parabola üçün fokus tənliyi: F(u, v), və a direktriks üçün düstur:

ax+by+c=0\,

is

{\frac {\left(ax+by+c\right)^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}\,

Qauss xəritəsinin forması[redaktə | əsas redaktə]

Qauss xəritəsinin forması aşağıdakı kimidir: $(\tan ^{2}\phi ,2\tan \phi )$ tənliyin ifadəsi aşağıdakı ifadə kimi eynigüclüdür: $(\cos \phi ,\sin \phi )$ .

Polyar koordinatda parabola[redaktə | əsas redaktə]

Polyar koordinatda olan parabola üçün aşağıdakı bərabərliklər vardır:

r(\varphi )=4a{\frac {\cos(\varphi )}{\sin ^{2}(\varphi )}}\quad \ \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}.

$(a,0)$ .

r(\varphi )={\frac {2a}{1-\cos(\varphi )}}\quad \ \varphi \neq 2\pi k.

Fəzada Parabola[redaktə | əsas redaktə]

Bir sıra kosmik cisimlərin trayektoriyası (kometlər, asteroidlər və s.) böyük sürətlə parabolaya oxşayırlar. Parabola konus ailəsinin bir hissəsinə aiddir. Parabolanın formasından bir sıra arxitekturada istifadə edilir.