Zeta sabiti

Vikipediya, açıq ensiklopediya
Keçid et: naviqasiya, axtar

Zeta sabiti — tam ədədi Rieman zeta funksiyasında yerində yazmaqla alınan sabit.

0 və 1-də Rieman zeta funksiyası[redaktə]

  • 0-da Rieman zeta funksiyası aşağıdakı kimidir:
\zeta(0)=B_1=-\frac{1}{2}.
  • 1-də Rieman zeta funksiyası aşağıdakı kimidir:
\zeta(1)=\infty.\,

Müsbət cüt tam ədədlər[redaktə]

Müsbət cüt tam ədədlər üçün aşağıdakı kimidir:


\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}

n\ge 1 düsturuna əsasən hesablanmış zeta funksiyası:

\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} = 1.6449\dots; Bazel problemi
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} = 1.0823\dots; Fizikada Ştefan–Boltsman qanunuVyana Yaxınlaşması
\zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{945} = 1.0173...\dots
\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \cdots = \frac{\pi^8}{9450} = 1.00407... \dots
\zeta(10) = 1 + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{3^{10}} + \cdots = \frac{\pi^{10}}{93555} = 1.000994...\dots
\zeta(12) = 1 + \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{3^{12}} + \cdots = \frac{691\pi^{12}}{638512875} = 1.000246\dots
\zeta(14) = 1 + \frac{1}{2^{14}} + \frac{1}{3^{14}} + \cdots = \frac{2\pi^{14}}{18243225} = 1.0000612\dots

Müsbət tam ədəd üçün olan zeta ilə Bernulli ədədləri arasındakı əlaqə aşağıdakı kimi yazılır:

0=A_n \zeta(n) - B_n \pi^{n}\,

Müsbət tək tam ədədlər[redaktə]

Buna misal olaraq bir neçəsini göstərmək olar:

\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty
\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots = 1.20205\dots ; Aperi sabiti
\zeta(5) = 1 + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{3^5} + \cdots = 1.03692\dots
\zeta(7) = 1 + \frac{1}{2^7} + \frac{1}{3^7} + \cdots = 1.00834\dots
\zeta(9) = 1 + \frac{1}{2^9} + \frac{1}{3^9} + \cdots = 1.002008\dots

Zeta Sabitləri Cəmi[redaktə]

Zeta Sabitləri Cəminin düsturu aşağıdakı kimidir:

\sum_{k=2}^\infty (\zeta(k) -1) = 1

Xarici keçidlər[redaktə]