Lorens skalyarı

Nisbilik nəzəriyyəsində Lorentz skalyarı hər hansı Lorens çevrilməsi altında invariant qalan skalyar ifadələrdir. Məsələn, vektorların skalyar hasilindən (daxili hasil) və ya nəzəriyyədəki tenzorların qısaldılması ilə Lorens skalyarı əldə edilə bilər. Vektorların və tensorların komponentləri Lorens çevrilmələri altında dəyişsə də, Lorens skalyarları dəyişməz qalır. Lorens skalyarı həmişə riyazi mənada invariant skalyar deyil, lakin nəticədə skalyar qiymət nəzərdən keçirilən nəzəriyyənin əsaslandığı vektor fəzasına tətbiq edilən istənilən bazis çevrilməsi zamanı invariant olur. Minkovski fəzasında sadə Lorens skalyarı fəza-zamanda iki hadisənin fəza-zaman məsafəsidir (onların fərqinin "uzunluğu"). Hadisələrin dördölçülü radius vektoru müxtəlif ətalət hesablama sistemlərində dəyişdiyi halda, müvafiq Lorens çevrilməsi altında onların fəza-zaman məsafəsi invariant olaraq qalır.

Xüsusi nisbilikdə sadə skalyarlar

Radius vektorunun modulu

Müxtəlif sürətlə iki maddi nöqtənin dünya xətləri.

Xüsusi nisbilik nəzəriyyəsində zərrəciyin dördölçülü fəza-zamanda radius vektoru bu cür verilir,

$$x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )$$

burada, $\mathbf {x} =\mathbf {v} t$ üçölçülü fəzada mövqe vektorudur, $\mathbf {v}$ üçölçülü fəzada sürətdir və $c$ işıq sürətidir.

Bu vektorun "uzunluğu" Lorens skalyarını verir.

$$x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}$$

burada $\tau$ məxsusui zamandır. Minkoviski metrikası isə

$$\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.$$

Bu zamanvari metrikadır. Bəzən Minkovski metrikasının alternativ forması istifadə olunur, burada diaqonal elementlərin işarələri dəyişir.

$$\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$$

Bu isə fəzavari metrikadır. Minkovski metrikasında fəzavari interval $s$ aşağıdaki kimi yazılır

$$x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.$$

Sürət vektorunun uzunluğu

İki fərqli sürətdəki zərrəciklərin fəza-zamanda sürət vektorları. Nisbilik nəzəriyyəsində təcil fəza-zamanda fırlanma ilə ekvalentdir.

Fəza-zamanda sürət aşağıdaki kimi təyin olunur.

$$v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)$$

burada,

$$\gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.$$

Dördölçülü sürətin modulu Lorens skalyarıdır.

$$v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.$$

Belə ki, $c$ Lorens skalyarıdır.

Sürətin və təcilin daxili hasili

Dördölçülü təcil aşağıdaki kimi təyin olunur,

$$a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.$$

Dördölçülü təcil həmişə dördölçülü sürətə perpendikulyardır.

$$0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.$$

Buna görə də, fəza-zamanda təcili sadəcə olaraq dördölçülü sürətin fırlanması kimi qəbul edə bilərik. Sürətin və təcilin daxili hasili Lorens skayarıdır və sıfıra bərabərdir. Bu fırlanma sadəcə olaraq enerji saxlanmasının ifadəsidir.

$${dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$$

Burada $E$ zərrəciyin enerjisi $\mathbf {F}$ zərrəciyə təsir edən üçölçülü qüvvə vektorudur.

Mənbələr

• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. Classical Theory of Fields (Fourth Revised English). Oxford: Pergamon. 1975. ISBN 0-08-018176-7.